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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 16

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 3 - 3 0 4 - λ 0 - 3 3 1 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → 1 - λ 3 - 3 0 4 - λ 0 - 3 3 1 - λ = 0 → 1 - λ 4 - λ 1 - λ - 9 4 - λ = 0

→ 4 - λ [ 1 - λ 2 - 9 ] = 0 →

→ 4 - λ - 2 λ + λ 2 - 8 = 0

λ 1 = 4 e λ 2 = - 2

Temos que os autovalores de A são 4 e - 2 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 4 :

T v = λ v → 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1 x y z = 4 ⋅ x y z → x + 3 y - 3 z 4 y - 3 x + 3 y + z = 4 x 4 y 4 z

Temos então o sistema:

x + 3 y - 3 z = 4 x 4 y = 4 y - 3 x + 3 y + z = 4 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

y = y

- 3 x + 3 y - 3 z = 0 → x = y - z

- 3 x + 3 y - 3 z = 0 → z = - x + y → z = - y + z + y → z = z

Pronto, assim temos:

y - z , y , z = y 1 , 1 , 0 + z - 1,0 , 1

Passo 4

Para os autovetores associados ao autovalor - 2 :

T v = λ v → 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1 x y z = - 2 ⋅ x y z → x + 3 y - 3 z 4 y - 3 x + 3 y + z = - 2 x - 2 y - 2 z

Temos então o sistema:

x + 3 y - 3 z = - 2 x 4 y = - 2 y - 3 x + 3 y + z = - 2 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

3 x + 3 y - 3 z = 0 → x = z

y = 0

- 3 x + 3 y + 3 z = 0 → - 3 z + 0 + 3 z = 0 → 0 = 0

Pronto, assim temos:

z , 0 , z = z 1 , 0 , 1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = 1,1 , 0 - 1,0 , 1 e v 2 = 1,0 , 1

Resposta

λ 1 = 4 e λ 2 = - 2

v 1 = 1,1 , 0 - 1,0 , 1 e v 2 = 1,0 , 1

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