Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 19

Seja A = - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 . Quais são os autovalores e autovetores de A de um espaço vetorial:

  1. Real
  2. Complexo

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = - 1 - λ - 2 0 0 - 1 - λ 1 1 0 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → - 1 - λ - 2 0 0 - 1 - λ 1 1 0 - λ = 0 → - 1 - λ - 1 - λ - λ - 2 = 0

→ = 0 →

→ - 1 - λ 2 - λ = 2 →

→ 1 + 2 λ + λ 2 - λ = 2

λ 1 = - 2 , λ 2 = i e λ 3 = - i

Temos que os autovalores de A são - 2 , i e - i .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 2 :

T v = λ v → - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 x y z = - 2 ⋅ x y z → - x - 2 y - y + z x = - 2 x - 2 y - 2 z

Temos então o sistema:

- x - 2 y = - 2 x - y + z = - 2 y x = - 2 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = - 2 z

y = - z

x = - 2 z

Pronto, assim temos:

- 2 z , - z , z = z - 2 , - 1,1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = - 2 , - 1,1

Passo 4

Para os autovetores associados ao autovalor i :

T v = λ v → - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 x y z = i ⋅ x y z → - x - 2 y - y + z x = i x i y i z

Temos então o sistema:

- x - 2 y = i x - y + z = i y x = i z

Isolando os termos vamos achar os valores:

z = 1 + i y

x = i z → x = i 1 + i y → x = - 1 + i y

Pronto, assim temos:

- 1 + i y , y , 1 + i y = y - 1 + i , 1 , 1 + i

Passo 5

Para os autovetores associados ao autovalor - i :

T v = λ v → - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 x y z = - i ⋅ x y z → - x - 2 y - y + z x = - i x - i y - i z

Temos então o sistema:

- x - 2 y = - i x - y + z = - i y x = - i z

Isolando os termos vamos achar os valores:

z = 1 - i y

x = - i z → x = - i 1 + i y → x = - 1 - i y

Pronto, assim temos:

- 1 - i y , y , 1 - i y = y - 1 - i , 1 , 1 - i

Então os autovetores são da forma:

v 1 = - 1 + i , 1 , 1 + i e v 2 = - 1 - i , 1 , 1 - i

Resposta

  1. v 1 = - 2 , - 1,1
  2. v 1 = - 1 + i , 1 , 1 + i e v 2 = - 1 - i , 1 , 1 - i
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : M 2 → M 2 tal que A → A ' (Isto é, T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.)
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 3 → R 3 tal que T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z , 2 x + y - z )
Suponha que λ seja autovalor de T : V → V com autovetor v e α um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de α T .
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2