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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 13

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 0 2 - 1 - λ 1 1 1 2 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → 1 - λ 0 2 - 1 - λ 1 1 1 2 - λ = 0 → 1 - λ - λ 2 - λ - 2 + 2 λ - 1 + λ = 0 →

→ 1 - λ - 2 λ + λ 2 - 3 + 3 λ = 0 → 1 - λ - 2 λ + λ 2 - 3 1 - λ = 0 → 1 - λ - 2 λ + λ 2 - 3 = 0

λ 1 = 1 , λ 2 = 3 e λ 3 = - 1

Temos que os autovalores de A são 1 , 3 e - 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 1 :

T v = λ v → 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2 x y z = 1 ⋅ x y z → x + 2 z - x + z x + y + 2 z = x y z

Temos então o sistema:

x + 2 z = x - x + z = y x + y + 2 z = z

Isolando os termos vamos achar os valores:

z = 0

x = - y

x + y + 2 z = z → - y + y = 0 → 0 = 0

Pronto, assim temos:

- y , y , 0 = y - 1,1 , 0

Passo 4

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 3 :

T v = λ v → 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2 x y z = 3 ⋅ x y z → x + 2 z - x + z x + y + 2 z = 3 x 3 y 3 z

Temos então o sistema:

x + 2 z = 3 x - x + z = 3 y x + y + 2 z = 3 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

- 2 x + 2 z = 0 → x = z

- x - 3 y + z = 0 → 3 y = - x + z → 3 y = 0 → y = 0

x + y + 2 z = 3 z → x + y - z = 0 → z + 0 - z = 0 → 0 = 0

Pronto, assim temos:

z , 0 , z = z 1,0 , 1

Passo 5

Para os autovetores associados ao autovalor - 1 :

T v = λ v → 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2 x y z = - 1 ⋅ x y z → x + 2 z - x + z x + y + 2 z = - x - y - z

Temos então o sistema:

x + 2 z = - x - x + z = - y x + y + 2 z = - z

Isolando os termos vamos achar os valores:

2 x + 2 z = 0 → x = - z

- x + y + z = 0 → y = x - z → y = - 2 z

x + y + 2 z = - z → x + y + 3 z = 0 → - z - 2 z + 3 z = 0 → 0 = 0

Pronto, assim temos:

- z , - 2 z , z = z - 1 , - 2,1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = - 1,1 , 0 , v 2 = 1,0 , 1 e v 3 = - 1 , - 2,1

Resposta

λ 1 = 1 , λ 2 = 3 e λ 3 = - 1

v 1 = - 1,1 , 0 , v 2 = 1,0 , 1 e v 3 = - 1 , - 2,1

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