Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 26
Ache o centro e o raio da circunferência, intercessão das superfícies esféricas sejam e .
Passo 1
Fala galera! Vamos começar escrevendo as equações das esferas em sua forma reduzida:
Com isso, descobrimos o raio e o centro da primeira esfera: e
Agora, descobrimos que o raio e o centro da segunda esfera que são: e .
Para mostrar que a interseção entre as duas esferas é uma circunferência, temos que mostrar que a distância entre os dois centros é menor que a soma dos raios das duas esferas. Então, vamos começar calculando a distância entre os centros:
Por outro, a soma dos raios é dada por:
Com isso, vemos que a distância entre os dois centros é menor que a soma dos dois raios. Assim, fica provado que a interseção é uma circunferência.
Passo 2
Como a interseção entre as esferas é uma circunferência, então temos que calcular o centro da circunferência e seu raio. Nesse caso, a única dificuldade é determinar a distância entre um dos centros da esfera e o centro da circunferência. Vamos começar escolhendo o centro da segunda esfera como referência. Vamos ver como essa interseção fica quando olhamos de cima:
É possível notar que a distância de interseção será dada por:
Agora a gente subtrai a segunda equação da primeira:
A partir dessa distância, podemos obter o raio da circunferência a partir da seguinte equação:
Passo 3
Agora iremos calcular o centro da circunferência e, para isso, utilizaremos uma reta ligando os pontos e . O vetor diretor dessa reta será é dado por:
Assim, se considerarmos a reta saindo de , teremos as equações paramétricas . Temos que descobrir para qual valor de a reta se encontra no ponto . Nesse caso, temos um vetor que sai até cujo módulo vai ser igual a distância entre e :
Agora, substituímos esse valor no ponto :
Resposta
e