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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 01

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro C e raio ρ .

  1. C = 1 ,   - 1 ,   3 ,   ρ = 2 .
  2. C = 0,0 , 0 , ρ = 1 .
  3. C = 2 ,   1 ,   - 3 ,   ρ = 2 .
  4. C = 18 , - 1 , - 1 ,   ρ = 50 .
  5. C = 0,1 , 0 ,   ρ = 4 .

Passo 1

A esfera é o conjunto de pontos, no espaço, que possui a mesma distância de um ponto fixo. Tal ponto fixo é denominado de centro da esfera. A distância dos pontos até o ponto fixo é denominada de raio da esfera.

Passo 2

Pela definição acima, sendo P = x , y , z um ponto pertence à superfície esférica e C = x C ,   y C ,   z C o centro da esfera, temos:

d P ,   C = R ∴ x - x C 2 + y - y C 2 + z - z C 2 = ρ

⟹ x - x C 2 + y - y C 2 + z - z C 2 = ρ 2

é a equação reduzida da superfície esférica.

Passo 3

Agora, basta usar o que foi visto no passo 2.

  1. x - 1 2 + y - - 1 2 + z - 3 2 = 2 2 ∴ x - 1 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 4 .
  2. x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2 = 1 2 ∴ x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
  3. x - 2 2 + y - 1 2 + z - - 3 2 = 2 2 ∴ x - 2 2 + y - 1 2 + z + 3 2 = 2
  4. x - 18 2 + y - - 17 2 + z - - 1 2 = 50 2 ∴ x - 18 2 + y + 17 2 + + z + 1 2 = 2500 .
  5. x - 0 2 + y - 1 2 + z - 0 2 = 4 2 ∴ x 2 + y - 1 2 + z 2 = 16 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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