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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 7

Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam 3 do ponto (1, 1, 1). Estes planos são subespaços de R 3 ? Caso afirmativo, encontre uma base para eles.

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

V   =   ( 2 ,   2 ,   2 )

Passo 2

Primeiramente, vamos separar todas as variáveis necessárias para resolver o nosso problema:

x ,   y ,   z ,   d A g o r a ,   v a m o s   s e p a r a r   t o d o s   o s   p o n t o s   e   v e t o r e s   d o   n o s s o   p r o b l e m a :   P 1 = 0 ,   0 ,   - d 2 V =   2 ,   2 ,   2 P 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) V a m o s   c o n s t r u i r   a   p r i m e i r a   e x p r e s s ã o   g e n é r i c a   p a r a   o   e x e r c í c i o : E x p r e s s ã o   1 : 2 x + 2 y + 2 z + d

Passo 3

Continuando o exercício, precisamos encontrar uma segunda expressão que será a nossa guia, para chegarmos até o cálculo final do mesmo, encontraremos a segunda expressão da seguinte forma: E x p r e s s ã o   2 :   P - P 1 ∙ N n o ( N ) E x p r e s s ã o   2 :   1 6 6 + d 3 Resolvendo o seguinte cálculo, encontraremos um par de vetores chave para verificarmos se as condições do exercício são atendidas:

1 6 6 + d 3 - 3 ,   d   = ( 0 ,   - 12 )   L o g o ,   p o d e m o s   c o n c l u i r   q u e   o s   p l a n o s   2 x + 2 y + 2 z = 0   e   2 x + 2 y + 2 z - 12 = 0 satisfazem as condições que o exercício solicita, entretanto apenas o primeiro plano é um subespaço. Portanto, este subespaço consiste dos vetores da forma: α ,   β ,   - α , - β = α ,   0 ,   - α + ( 0 ,   β ,   - β )

α ,   β ,   - α , - β = α 1 ,   0 ,   - 1 + β ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Passo 4

Dando seguimento no exercício, encontramos dois vetores importantes através da expressão chave, vou chamar esses vetores de “T”, mas você pode escolher a letra que quiser, lembrando que é uma escolha arbitrária. T 1 = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) T 2 = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.Agora, precisaremos encontrar dois vetores distintos que vou chamá-los de “W”, também é uma escolha arbitrária.

Vetor: W 1

W =   T 1 W 1 =   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Vetor: W 2

W 2 =   T 2 - p r o j ( W 1 , T 2 )

W 2 = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) - p r o j ( W 1 , T 2 )

W 2 = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) - p r o j ( 1 ,   0 ,   - 1 ) ,   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

W 2 = - 1 2 ,     1 ,     - 1 2

Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “X”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.

Vetor: X 1

X 1 = W 1 n o ( W 1 )

X 1 = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) n o ( 1 ,   0 ,   - 1 )

X 1 = 1 2 2 ,                         0 ,     - 1 2 2  

Vetor: X 2

X 2 = W 2 n o ( W 2 )

X 2 = - 1 2 ,     1 ,     - 1 2 n o - 1 2 ,     1 ,     - 1 2

X 2 = - 1 6 6 ,                         1 3 6 ,     - 1 6 6  

Deu bastaaaaaaaante trabalho hein?!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

X 1 = 1 2 2 ,                         0 ,     - 1 2 2  

X 2 = - 1 6 6 ,                         1 3 6 ,     - 1 6 6  

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