Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 4

Encontre uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que consiste de todos os vetores (a, b, c, d) tais que a - b - 2c + d = 0.

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

Subespaço: R 4

Condição: a - b - 2c + d = 0.

Vetores: (a, b, c, d)

Passo 2

Primeiramente, para resolvermos esse exercício precisaremos realizar o primeiro passo, que é criar uma equação genérica para o nosso problema, ela fica assim, saca só: - α + 2 β , γ , γ , β , α = - α , 0 ,   0 , α + 2 β , 0 , β , 0 + γ , γ , 0 ,   0

- α + 2 β , γ , γ , β , α = α - 1 ,   0 ,   0 ,   1 + β 2 ,   0 ,   1 ,   0 + γ ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 )

Beleza! Encontramos dois vetores, eu vou nomeá-los de “g”, mas você pode escolher a letra que quiser, lembrando que é uma escolha arbitrária. Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.

Vetores: g 1 = - 1 ,   0 ,   0 ,   1   e g 2 = 2 ,   0 ,   1 ,   0 e g 3 = ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 )

Agora, para resolvermos a primeira parte do exercício precisaremos encontrar dois vetores distintos que vou chamá-los de “t”, também é uma escolha arbitrária.

Vetor: t 1

t 1 =   g 1 t 1 =   - 1 ,   0 ,   0 ,   1

Vetor: t 2

t 2 =   g 2 - p r o j ( t 1 , g 2 )

t 2 = 2 ,   0 ,   1 ,   0 - p r o j ( t 1 , g 2 )

t 2 = 2 ,   0 ,   1 ,   0 - p r o j - 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   0

t 2 = 1 ,   0 ,   1 ,   1

Vetor: t 3

t 3 =   g 3 - p r o j ( t 1 , g 3 ) - p r o j ( t 2 , g 3 )

t 3 = 1 ,   1 ,   0 ,   0 - p r o j ( t 1 , g 3 ) - p r o j ( t 2 , g 3 )

t 3 = ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 )   - p r o j - 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) - p r o j 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 )

t 3 = 1 6 ,     1 ,     - 1 3 ,     1 6

Passo 3

Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “x”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.

Vetor: x 1

x 1 = t 1 n o ( t 1 )

x 1 = - 1 ,   0 ,   0 ,   1 n o - 1 ,   0 ,   0 ,   1

x 1 = - 1 2 2 ,     0 ,     0 ,     1 2 2  

Vetor: x 2

x 2 = t 2 n o ( t 2 )

x 2 = 1 ,   0 ,   1 ,   1 n o 1 ,   0 ,   1 ,   1

x 2 = 1 3 3 ,     0 ,     1 3 3 ,     1 3 3  

Vetor: x 3

x 3 = t 3 n o ( t 3 )

x 3 = 1 6 ,     1 ,     - 1 3 ,     1 6 n o 1 6 ,     1 ,     - 1 3 ,     1 6

x 3 = 1 42 42 ,     1 7 42 ,     - 1 21 42 ,     1 42 42  

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

x 1 = - 1 2 2 ,     0 ,     0 ,     1 2 2  

x 2 = 1 3 3 ,     0 ,     1 3 3 ,     1 3 3  

x 3 = 1 42 42 ,     1 7 42 ,     - 1 21 42 ,     1 42 42  

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u = 2,1 , - 4,0 , v = - 1 , - 1,2 , 2 e w = 3,2 , 5,4 .
Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto interno euclidiano. u = 3,2 , v = 4 , - 1 u = - 3,1 , 0 , v = 2 , - 1,3 u = - 4,2 , 1 , v =
4. Prove que se A for ortogonal, então A T será ortogonal.
Consideremos o subespaço S = x , y , z x - z = 0 } com o produto interno x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z ' Determinar S ⊥ e uma base de S ⊥ .
Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 y - 2 z = 0 }