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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 9

Seja V = C 0 - 1,1 o conjunto das funções contínuas do intervalo - 1,1 em R com o produto interno definido por < f , g >   = ∫ - 1 1 f t g t d t

  1. Sabendo-se que p 0 t = 1 é base ortogonal de P 0 , p 0 t = 1 ,   p 1 t = t é base ortogonal de P 1 e p 0 t = 1 , p 1 t = t , p 2 t = t 2 - 1 3 é ortogonal de P 2 , calcule as projeções de t + 1 nos polinômios p 0 ,   p 1 , p 2 .

  2. Calcule as projeções da função f t = t + 1 ∈ V nos subespaços p 0 ,   p 1 , p 2 , dos polinômios de grau menor ou igual a 0, 1 e 2 respectivamente.

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos resolver o primeiro questionamento do exercício que pede: sabendo-se que p 0 t = 1 é base ortogonal de P 0 , p 0 t = 1 ,   p 1 t = t é base ortogonal de P 1 e p 0 t = 1 , p 1 t = t , p 2 t = t 2 - 1 3 é ortogonal de P 2 , calcule as projeções de t + 1 nos polinômios p 0 ,   p 1 , p 2 .

Para resolver essa questão, será necessário utilizar os seguintes cálculos: p r o j p 0 t + 1 t = < t + 1 , p 0 > p 0 2 p 0 ( t ) p r o j p 0 t + 1 t = 2 3 ( t + 1 ) 3 2 2 p r o j p 0 t + 1 t = 2 2 3 p r o j p 1 t + 1 t = < t + 1 , p 1 > p 1 2 p 1 t = 2 2 5 t p r o j p 2 t + 1 t = < t + 1 , p 2 > p 2 2 p 2 t = - 2 7 t 2 - 1 3

A s s i m ,   f e c h a m o s   a   p r i m e i r a   p a r t e   d o   e x e r c í c i o !

Passo 2

O segundo questionamento do exercício nos pede: Calcule as projeções da função f t = t + 1 ∈ V nos subespaços p 0 ,   p 1 , p 2 , dos polinômios de grau menor ou igual a 0, 1 e 2 respectivamente.

Para resolver essa questão, será necessário utilizar os seguintes cálculos:

p r o j p 0 t + 1 t = p r o j p 0 t + 1 t =   2 2 3  

p r o j p 1 t + 1 t = p r o j p 0 t + 1 t +   p r o j p 1 t + 1 t = 2 2 1 3 + 1 5 t

p r o j p 2 t + 1 t = p r o j p 0 t + 1 t + p r o j p 1 t + 1 t + p r o j p 2 t + 1 t

p r o j p 2 t + 1 t = 2 - 1 7 t 2 + 2 5 t + 15 21

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

Resposta nos passos 1 e 2.

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