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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 20

O conjunto B = { 2 ,   - 1 ,   k ,   1 } é uma base ortogonal do R 2 em relação ao produto interno

x 1 , y 1 ⋅ x 2 ,   y 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2

Determinar o valor de k , e obter, a partir de B , uma base ortonormal.

Passo 1

Primeiro, pra nossa base ser ortogonal, os dois vetores têm que ter o produto interno igual a 0 . Vamos fazer essa parada então, usando o produto interno que ele deu!

2 ,   - 1 ⋅ k ,   1 = 0

2 2 k + 2 1 + k - 1 + - 1 1 = 0

Desenvolvendo,

4 k + 2 - k - 1 = 0

3 k = - 1

k = - 1 3

Passo 2

Agora, pra ortonormalizar, vamos dividir cada vetor pelo seu módulo, pra que todos fiquem com módulo igual a 1 . O módulo de um vetor v = ( x ,   y ) , nesse produto interno, é:

v = x , y ⋅ x , y

v = 2 x 2 + x y + x y + y 2

v = 2 x 2 + 2 x y + y 2

Então, o módulo de ( 2 ,   - 1 ) é:

2 , - 1 = 2 2 2 + 2 2 - 1 + - 1 2

2 , - 1 = 8 - 4 + 1

2 , - 1 = 5

E o módulo de - 1 3 ,   1 é:

- 1 3 ,   1 = 2 - 1 3 2 + 2 - 1 3 1 + 1 2

- 1 3 ,   1 = 2 9 - 2 3 + 1

- 1 3 ,   1 = 5 3

Passo 3

Aí, pra terminar, a gente ortonormaliza eles dividindo pelo módulo:

2 ,   - 1 5 = 2 5 , - 1 5

- 1 3 ,   1 5 3 = - 1 5 , 3 5

E aí a base ortonormal vai ser:

2 5 , - 1 5 ,   - 1 5 , 3 5

Resposta

k = - 1 3

2 5 , - 1 5 ,   - 1 5 , 3 5

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