Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 6
Considere as retas e = em . Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas e ache uma base ortonormal para este plano. Complete esta base a uma base ortonormal em .
Passo 1
E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?
Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:
Retas: e = em .
Passo 2
Primeiramente, para resolvermos esse exercício precisaremos realizar o primeiro passo, que é determinar dois vetores e dois pontos que são super necessários, saca só: e eApós realizar essa definição, realizaremos o produto vetorial dos vetores :
Passo 3
Continuando o exercício, será necessário montar uma matriz, para que possamos encontrar a expressão chave do nosso exercício, a matriz será:
Realizando o determinante dessa matriz, encontramos a seguinte expressão:
A partir dessa expressão, podemos retirar a seguinte conclusão: Com o produto vetorial de , ambos os vetores é igual ao vetor nulo, então as retas são paralelas. Neste caso, os vetores e não são colineares e paralelos ao plano necessário.
Assim, a expressão = 0 é a equação que representa o plano que passa na origem, logo é um subespaço. Esse subespaço consiste na expressão chave do nosso exercício, que é:
Passo 4
Dando seguimento no exercício, encontramos dois vetores importantes através da expressão chave, vou chamar esses vetores de “T”, mas você pode escolher a letra que quiser, lembrando que é uma escolha arbitrária. Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.Agora, precisaremos encontrar dois vetores distintos que vou chamá-los de “W”, também é uma escolha arbitrária.
Vetor:
Vetor:
Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “X”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.
Vetor:
Vetor:
Para finalmente, terminarmos o nosso exercício e completarmos a base ortonormal de , basta fazermos Quaaaaaaaaaaaaaanto trabalho!!!!
Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!