Altamente motivado pelos Exercícios e , mostre que toda matriz-solução de um sistema linear é a soma de uma solução do sistema homogêneo associado . Sugestão: siga as etapas seguintes, usando somente propriedade de matrizes.

1. Mostre que se é uma solução do sistema e é uma solução de , então é solução de .
2. Se e são soluções de , então é solução de .
3. Use i) e ii) para chegar à conclusão desejada.

Para verificar a afirmação vamos substituir esse resultado na equação :

A equação representa o seguinte sistema:

Vamos representar o sistema da forma:

Vemos que a soma de todos os termos acompanhados de com é igual a zero. Assim podemos rescrever o sistema:

Que na forma de equação matricial fica:

Assim, a soma das soluções é uma solução do sistema .