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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 24

Dado o sistema linear

3 x + 5 y + 12 z - w = - 3 x + y + 4 z - w = - 6 2 y + 2 z + w = 5

  1. Discuta a solução do sistema.
  2. Acrescente a equação 2 z + k w = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema incompatível.

Passo 1

  1. Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

    2. 3 5 12 1 1 4 0 2 2         - 1 - 3 - 1 - 6 1 5

    Passo 2

    Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

    Primeiro fazendo L 1 = 1 3 L 1 :

    1 5 3 4 1 1 4 0 2 2         - 1 3 - 1 - 1 - 6 1 5

    Agora fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

    1 5 3 4 0 - 2 3 0 0 2 2         - 1 3 - 1 - 2 3 - 5 1 5

    Aqui vamos fazer L 2 = - 3 2 L 2 :

    1 5 3 4 0 1 0 0 2 2         - 1 3 - 1 1 15 2 1 5

    Agora L 3 = - 2 L 2 + L 3 :

    1 5 3 4 0 1 0 0 0 2         - 1 3 - 1 1 15 2 - 1 - 10

    Calma que tá acabando, fazendo L 3 = 1 2 L 3 :

    1 5 3 4 0 1 0 0 0 1         - 1 3 - 1 1 15 2 - 1 2 - 5

    Agora L 1 = - 4 L 3 + L 1 :

    1 5 3 0 0 1 0 0 0 1         5 3 19 1 15 2 - 1 2 - 5

    Por último, fazendo L 1 = - 5 3 L 2 + L 1 :

    1 0 0 0 1 0 0 0 1         0 13 2 1 15 2 - 1 2 - 5

    Passo 3

    Vamos ter então o sistema:

    x = 13 2 y + w = 15 2 z - 1 2 w = - 5 w = w → x = 13 2 y = 15 2 - w z = - 5 + 1 2 w w = w

    Passo 4

  2. Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

3 5 12 1 1 4 1 0 1 0 4 2         - 1 - 3 - 1 - 6 1 k 5 9

Passo 2

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 1 = 1 3 L 1 :

1 5 3 4 1 1 4 1 0 1 0 4 2         - 1 3 - 1 - 1 - 6 1 k 5 9

Agora fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

1 5 3 4 0 - 2 3 0 1 0 1 0 4 2         - 1 3 - 1 - 2 3 - 5 1 k 5 9

Aqui vamos fazer L 2 = - 3 2 L 2 :

1 5 3 4 0 1 0 1 0 1 0 4 2         - 1 3 - 1 1 15 2 1 k 5 9

Agora L 3 = - 2 L 2 + L 3 :

1 5 3 4 0 1 0 0 0 0 0 0 2         - 1 3 - 1 1 15 2 - 1 k - 10 9

Calma que tá acabando, fazendo L 3 = 1 2 L 3 :

1 5 3 4 0 1 0 0 0 0 0 1 2         - 1 3 - 1 1 15 2 - 1 2 k - 5 9

Por último L 1 = - 4 L 3 + L 1 :

1 5 3 4 0 1 0 0 0 0 0 1 0         - 1 3 - 1 1 15 2 - 1 2 k + 1 - 5 19

O valor de k que torna o sistema incompatível é quando o elemento a 44 é igual a 0 , assim:

k + 1 = 0 → k = - 1

Resposta

  1. x = 13 2 y = 15 2 - w z = - 5 + 1 2 w w = w
  2. k = - 1
Ver Outros Exercícios desse livro

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Seja D =λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A =a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1⋮… a n 2 … ⋮
Mostre que as matrizes A =1 1 y y 1 , em que y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2X.
Sejam A, B e C matrizes nxn. b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique.
a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0? Justifique.
Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que ( A B ) p = A p B p .