Mostre que as equações paramétricas x = a c o s t e y = b s e n t , a0 , b0 e 0 ≤ t2 π definem uma elipse cuja equação em coordenadas cartesianas é x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .Mostre que as equações x = a c o s ( - 2 t ) e y = b c o s ( - 2 t ) , 0 ≤ tπ , definem a mesma elipse dada em (a). Encontre os “vetores velocidade” nos casos (a) e (b). v → = d x d t i → + d y d t j → .Use o item (a) para traçar a partir de duas circunferências concêntricas de raio a e b a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.7.5 - Ex. 12

Mostre que as equações paramétricas e , , e definem uma elipse cuja equação em coordenadas cartesianas é .

Mostre que as equações e , , definem a mesma elipse dada em (a). Encontre os “vetores velocidade” nos casos (a) e (b). .

Use o item (a) para traçar a partir de duas circunferências concêntricas de raio e a elipse .

Passo 1

Bom, galera, pra gente ver se essas equações definem aquela equação só temos que fazer uma coisa: substituir e ver se dá bom! Então vamos fazer isso!

Pela relação fundamental da trigonometria:

Opa, serviu pro que a gente queria! Falta a gente ver se a elipse tá sendo toda percorrida. Bom, a nossa variável é o , e de fato, o tá definido de a , que é toda o círculo trigonométrico. Então beleza, essa fechou!

Passo 2

Vamos fazer o mesmo procedimento nessa aqui, mas agora substituindo por essa outra expressão.

E aí, de novo pela relação fundamental da trigonometria:

E vamos verificar se tá percorrendo a volta toda. Agora o tá definido de até , e então o vai estar definido de a , que é justamente o que a gente queria! Mas o nosso caso aqui é com ... Tem problema? Tem não! A elipse só tá sendo definida ao contrário, sacou?

Passo 2

Vamos ver esses tais vetores velocidade aí. A gente sabe que a velocidade é a derivada da posição, não é? Então, pro primeiro caso:

E portanto,

Agora vamos ver a segunda situação:

E assim,

Passo 3

A idéia aqui é a seguinte: a gente tem as duas circunferências, certo? Vamos traçar a reta que forma um ângulo com a horizontal.

Ela encontra a circunferência menor em um ponto que tem coordenada , e a circunferência maior em um ponto que tem coordenada . Juntando o de um ponto com o de outro, temos a nossa elipse!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérboleOs focos são - 13 ,0 e 13,0 e a excentricidade, 13 / 12 . Os vértices são 0 ,- 4 e 0 ,4 e a excentricidade, 2 . A excentricidade é 2 , e as assí

Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e as equações das assíntotas da hipérbole: 25 x 2 - 144 y 2 = 3600 16 x 2 - 25 y 2 = 400 y 2 - x 2 = 16 9 y 2 - 4 x 2

Mostre que a amplitude focal da hipérbole é 2 b^2 // a .