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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.7.5 - Ex. 12

  1. Mostre que as equações paramétricas x = a c o s t e y = b s e n t , a > 0 , b > 0 e 0 ≤ t < 2 π definem uma elipse cuja equação em coordenadas cartesianas é x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .
  2. Mostre que as equações x = a c o s ( - 2 t ) e y = b c o s ( - 2 t ) , 0 ≤ t < π , definem a mesma elipse dada em (a). Encontre os “vetores velocidade” nos casos (a) e (b). v → = d x d t i → + d y d t j → .
  3. Use o item (a) para traçar a partir de duas circunferências concêntricas de raio a e b a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .

Passo 1

  1. Bom, galera, pra gente ver se essas equações definem aquela equação só temos que fazer uma coisa: substituir e ver se dá bom! Então vamos fazer isso!

    2. x 2 a 2 + y 2 b 2 = a c o s t 2 a 2 + b s e n t 2 b 2

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

    Pela relação fundamental da trigonometria:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Opa, serviu pro que a gente queria! Falta a gente ver se a elipse tá sendo toda percorrida. Bom, a nossa variável é o t , e de fato, o t tá definido de 0 a 2 π , que é toda o círculo trigonométrico. Então beleza, essa fechou!

    Passo 2

  2. Vamos fazer o mesmo procedimento nessa aqui, mas agora substituindo por essa outra expressão.

x 2 a 2 + y 2 b 2 = ( a c o s - 2 t ) 2 a 2 + b s e n ( - 2 t ) 2 b 2

x 2 a 2 + y 2 b 2 = cos 2 ⁡ ( - 2 t ) + s e n 2 ( - 2 t )

E aí, de novo pela relação fundamental da trigonometria:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E vamos verificar se tá percorrendo a volta toda. Agora o t tá definido de 0 até π , e então o 2 t vai estar definido de 0 a 2 π , que é justamente o que a gente queria! Mas o nosso caso aqui é com - 2 t ... Tem problema? Tem não! A elipse só tá sendo definida ao contrário, sacou?

Passo 2

Vamos ver esses tais vetores velocidade aí. A gente sabe que a velocidade é a derivada da posição, não é? Então, pro primeiro caso:

v x → = d d t a c o s t i → = - a s e n t   i →

v y → = d d t b s e n t j → = b c o s t   j →

E portanto,

v → = v x → + v y → = - a s e n t   i → + b c o s t   j →

Agora vamos ver a segunda situação:

v x → = d d t a c o s ( - 2 t ) i → = 2 a s e n t   i →

v y → = d d t b s e n ( - 2 t ) j → = - 2 b c o s t   j →

E assim,

v → = v x → + v y → = 2 a s e n t   i → - 2 b c o s t   j →

Passo 3

A idéia aqui é a seguinte: a gente tem as duas circunferências, certo? Vamos traçar a reta que forma um ângulo θ com a horizontal.

Ela encontra a circunferência menor em um ponto que tem coordenada x = a c o s θ , e a circunferência maior em um ponto que tem coordenada y = b s e n θ . Juntando o x de um ponto com o y de outro, temos a nossa elipse!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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