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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 25

Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A , 180 unidades de vitamina B , 140 unidades de vitamina C , 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E . Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1 g) de cada alimento, determinou-se que:

  1. O alimento I tem 1 unidade de vitamina A , 10 unidades de vitamina B , 1 unidade de vitamina C , 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E .
  2. O alimento I I tem 9 unidades de vitamina A , 1 unidade de vitamina B , 0 unidades de vitamina C , 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E .
  3. O alimento I I I tem 2 unidades de vitamina A , 2 unidades de vitamina B , 5 unidades de vitamina C , 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E .
  4. O alimento I V tem 1 unidade de vitamina A , 1 unidade de vitamina B , 1 unidade de vitamina C , 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina E .
  5. O alimento I tem 1 unidade de vitamina A , 1 unidade de vitamina B , 1 unidade de vitamina C , 9 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E .

Quantos gramas de cada um dos alimentos I , I I , I I I , I V E V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?

Passo 1

Vamos montar o sistema que relaciona os alimentos com suas devidas quantidades de cada vitamina:

x 1 + 9 x 2 + 2 x 3 + x 4 + x 5 = 170 10 x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + x 5 = 180 x 1 + 5 x 3 + x 4 + x 5 = 140 2 x 1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 + 9 x 5 = 180 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 13 x 4 + 2 x 5 = 3 5 0

Com x 1 sendo a quantidade a ser ingerida do alimento I , x 2 sendo a quantidade a ser ingerida do alimento I I e assim por diante.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema, é bem simples:

1 9 2 10 1 2 1 2 2 0 1 1 5 1 2         1 1 170 1 1 180 1 2 13 1 9 2 140 180 3 5 0

Passo 3

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 2 = - 10 L 1 + L 2 :

1 9 2 0 - 89 - 18 1 2 2 0 1 1 5 1 2         1 1 170 - 9 - 9 - 1520 1 2 13 1 9 2 140 180 3 5 0

Agora L 3 = - L 1 + L 3 :

1 9 2 0 - 89 - 18 0 2 2 - 9 1 1 3 1 2         1 1 170 - 9 - 9 - 1520 0 2 13 0 9 2 - 30 180 3 5 0

Fazendo L 4 = - 2 L 1 + L 4 :

1 9 2 0 - 89 - 18 0 0 2 - 9 - 17 1 3 - 3 2         1 1 170 - 9 - 9 - 1520 0 0 13 0 7 2 - 30 - 160 3 5 0

Aqui vamos fazer L 5 = - 2 L 1 + L 5 :

1 9 2 0 - 89 - 18 0 0 0 - 9 - 17 - 17 3 - 3 - 2         1 1 170 - 9 - 9 - 1520 0 0 11 0 7 0 - 30 - 160 1 0

Calma que uma hora acaba, fazendo L 2 = - 1 89 L 2 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 - 9 - 17 - 17 3 - 3 - 2         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 0 0 11 0 7 0 - 30 - 160 1 0

Agora L 3 = 9 L 2 + L 3 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 - 17 - 17 429 89 - 3 - 2         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 81 89 0 11 81 89 7 0 11010 89 - 160 1 0

Agora L 4 = 17 L 2 + L 4 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 - 17 429 89 39 89 - 2         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 81 89 153 89 11 81 89 776 89 0 11010 89 11600 89 1 0

Fazendo L 5 = 17 L 2 + L 5 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 429 89 39 89 128 89         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 81 89 153 89 1132 89 81 89 776 89 153 89 11010 89 11600 89 2 6730 89

Aqui vamos fazer L 3 = 89 429 L 3 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 39 89 128 89         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 153 89 1132 89 27 143 776 89 153 89 3670 143 11600 89 26730 89

Calma que uma hora acaba, fazendo L 4 = - 39 89 L 3 + L 4 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 39 89 128 89         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 18 11 1132 89 27 143 95 11 153 89 3670 143 1310 11 26730 89

Fazendo L 4 = - 39 89 L 3 + L 4

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 0 128 89         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 18 11 1132 89 27 143 95 11 153 89 3670 143 1310 11 26730 89

Fazendo L 5 = - 128 89 L 3 + L 5 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 0 0         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 18 11 1780 143 27 143 95 11 207 143 3670 143 1310 11 3 7670 143

Aqui vamos fazer L 4 = 11 18 L 4 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 0 0         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 1 1780 143 27 143 95 18 207 143 3670 143 655 9 37670 143

Calma que uma hora acaba, fazendo L 5 = - 1780 1 43 L 4 + L 5 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 0 0         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 1 0 27 143 95 18 - 7517 117 3670 143 655 9 - 7 5170 117

Fazendo L 5 = - 117 7517 L 5 :

1 9 2 0 1 18 89 0 0 0 0 0 0 1 0 0         1 1 170 9 89 9 89 1520 89 27 143 1 0 27 143 95 1 8 1 3670 143 655 9 7 5170 7517

Passo 4

Pronto, fazendo de baixo pra cima, achamos que:

x 1 = 10 x 2 = 10 x 3 = 20 x 4 = 20 x 5 = 10

Pronto, essa é a solução.

Resposta

x 1 = 10 x 2 = 10 x 3 = 20 x 4 = 20 x 5 = 10

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