Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 1 a
1. (a) Mostre que a matriz
é ortogonal de três maneiras: calculando , usandoa parte do Teorema 7.1.1 e usando a parte do Teorema 7.1.1
(b) Encontre a inversa da matriz da parte
Passo 1
Opaaa.. belezinha??
(a)
Nessa questão vamos precisar mostrar que a matriz é ortogonal de três maneiras, certo? Mas cê lembra o que isso quer dizer??
Então, pra matriz ser ortogonal a transposta de deve ser igual à inversa:
E vamos precisar lembrar também que a inversa da matriz vezes ela dá a identidade:
Então bora lá...
Passo 2
Primeiro vamos mostrar calculando . Então, como , a gente tem que encontrar a matriz identidade, certo? Daí fica mostrado.
A transposta de :
Fazendo a multiplicação:
Vamos representar por letrinhas pra ficar mais arrumadinho e menos amontoado:
E calculando os termos da matriz:
Substituindo na matriz:
Oh.... deu a matriz identidade. Então conseguimos mostrar que é ortogonal.
Passo 3
Agora usando a parte (b) do Teorema 7.1.1, que diz:
“Os vetores linha de formam um conjunto ortonormal de em relação ao produto interno euclidiano.”
E isso quer dizer que os vetores linham são perpendiculares entre si (ortogonais). Pra mostrar isso a gente faz o produto interno euclidiano (que é o produto interno basicão que a gente conhece) e tem que dar igual a zero.
Maaaas repara só que no teorema ele fala que é um conjunto ortoNORMAL, certo? E isso que dizer que a norma de cada vetor (o tamanho de cada vetor) é igual a 1.
Vamos mostrar isso, então.
Pegando os vetores linha de :
Agora vamos fazer o produto interno deles dois a dois:
Show... mostramos que os produtos internos são iguais a zero. Agora só falta calcular a norma de cada vetor:
Prontoo... conseguimos mostrar que a norma de cada vetor é igual a 1 também.
Conseguimos mostrar com isso tudoooo que os vetores linha de formam um conjunto ortonormal de em relação ao produto interno euclidiano, então é uma matriz ortogonal.
Passo 4
Agora só falta a terceira parte. A parte (c) do teorema 7.1.1 diz:
“Os vetores coluna de formam um conjunto ortonormal de em relação ao produto interno euclidiano.”
Então é isso mesmo, vai ser um repeteco dessa ladainha tooooda do passo 3, mas agora com os vetores coluna de .
Os vetores coluna de :
Fazendo os produto interno, dois a dois:
O produto interno dos vetores deu 0.
Agora vamos calcular a norma de cada vetor coluna:
E a norma de cada vetor deu 1 também.
E com isso também conseguimos mostrar que os vetores coluna de formam um conjunto ortonormal de em relação ao produto interno euclidiano, então é uma matriz ortogonal.
Resposta
Demonstração.