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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 17

17. Suponha que T : V → V   seja um operador linear e B uma base de V tal que

T x B = x 1 - x 2 + x 3 x 2 x 1 - x 3 se x B = x 1 x 2 x 3

Encontre T B .

Passo 1

Falaa... beleza??

Nessa questão vamos precisar lembrar que:

T B x B = T x B

Passo 2

Substituindo o que a gente tem do enunciado:

T B x 1 x 2 x 3 = x 1 - x 2 + x 3 x 2 x 1 - x 3

Bom... lembra que T B é uma matriz?

Pensa comigo... temos uma multiplicação de uma matriz T B por uma matriz com 3 linhas e 1 coluna (3x1) dando uma matriz de 3 linhas e 1 coluna, certo?

Lembra que pra multiplicação de matrizes poder acontecer o número de colunas da primeira tem que ser igual ao número de linhas da segunda??

Então nossa matriz T B precisa ter 3 colunas (já que a matriz x B tem 3 linhas.

Shooow... mas precisa ter 3 linhas também, já que o resultado tem 3 linhas.

Passo 3

Então vamos representar a nossa matriz assim:

T B = t 11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 t 31 t 32 t 33

E vamos fazer essa multiplicação aí...

t 11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 t 31 t 32 t 33 x 1 x 2 x 3 = x 1 - x 2 + x 3 x 2 x 1 - x 3

E chegamos em:

t 11 x 1 + t 12 x 2 + t 13 x 3 t 21 x 1 + t 22 x 2 + t 23 x 3 t 31 x 1 + t 32 x 2 + t 33 x 3 = x 1 - x 2 + x 3 x 2 x 1 - x 3

Daí temos:

t 11 x 1 + t 12 x 2 + t 13 x 3 = x 1 - x 2 + x 3 t 21 x 1 + t 22 x 2 + t 23 x 3 = x 2 t 31 x 1 + t 32 x 2 + t 33 x 3 = x 1 - x 3

Da primeira equação temos:

t 11 = 1

t 12 = - 1

t 13 = 1

Da segunda:

t 21 = 0

t 22 = 1

t 23 = 0

E da terceira:

t 31 = 1

t 32 = 0

t 33 = - 1

E, finalmente, temos a nossa matriz:

T B = 1 - 1 1 0 1 0 1 0 - 1

Resposta

T B = 1 - 1 1 0 1 0 1 0 - 1

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