3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa. (a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 (f) 1 0 0 0 0 1 3 - 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 3 1 2 0 Passo 1(e) Uma matriz é ortogonal, se E E T = E T E = I Passo 2Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna E = a b c d e f g h i E T = a d g b e h c f i Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Passo 3Calculando a transposta de E E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 E T = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 Passo 4Retornando para E T E = I E T E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 ∙ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 Passo 5Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33 Passo 6Calculando: E T E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 ∙ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 = 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ - 5 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 1 4 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 + 1 2 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + - 5 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 2 4 - 5 12 + 2 12 + 2 12 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 + 1 2 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + - 5 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 D D T = 1 2 + 0 + 1 2 - 1 12 + 0 + 1 12 - 1 6 + 0 ∙ + 1 6 - 1 12 + 0 + 1 12 1 6 + 4 6 + 1 6 1 18 - 2 18 + 1 18 - 1 12 + 0 + 1 12 1 6 - 2 6 + 1 6 1 3 + 1 3 + 1 3 D D T = 2 2 - 0 12 0 6 0 12 6 6 0 18 - 0 12 6 6 3 3 D T D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Então, temos D T D = I Passo 7Como a matriz D é ortogonal, temos que por definição D T D Temos que D T = - 1 2 0 1 2 1 6 - 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3 Então D - 1 = - 1 2 0 1 2 1 6 - 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3 Resposta D - 1 = - 1 2 0 1 2 1 6 - 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 23. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 25. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2Ver TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Produto InternoLista de exercícios de Bases Ortogonais e OrtonormaisVer exercício 5.1 - 8cVer exercício 7.1 - 3 a