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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 3 e

3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.

(a) 1 0 0 1 (b)   1 2 - 1 2 1 2 1 2

(c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3

(e) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 (f) 1 0 0 0 0 1 3 - 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 3 1 2 0

Passo 1

(e) Uma matriz é ortogonal, se

E E T = E T E = I

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

E = a b c d e f g h i

E T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Calculando a transposta de E

E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6

E T = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6

Passo 4

Retornando para

E T E = I

E T E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 ∙ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6

Passo 5

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 6

Calculando:

E T E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 ∙ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 =

1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ - 5 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 1 4 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 + 1 2 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + - 5 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6   ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6

2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4   2 4 - 5 12 + 2 12 + 2 12 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ - 5 6 + 1 2 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 1 2 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + 1 6 ∙ - 5 6 + - 5 6 ∙ 1 6 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 2 + - 5 6 ∙ 1 2 + 1 6   ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 6 ∙ 1 6 + - 5 6 ∙ - 5 6 + 1 6 ∙ 1 6

D D T = 1 2 + 0 + 1 2 - 1 12 + 0 + 1 12 - 1 6 + 0 ∙ + 1 6 - 1 12 + 0 + 1 12 1 6 + 4 6 + 1 6 1 18 - 2 18 + 1 18 - 1 12 + 0 + 1 12   1 6 - 2 6 + 1 6 1 3 + 1 3 + 1 3

D D T = 2 2 - 0 12 0 6 0 12 6 6 0 18 - 0 12   6 6 3 3

D T D = 1 0 0 0 1 0 0   0 1

Então, temos

D T D = I

Passo 7

Como a matriz D é ortogonal, temos que por definição

D T D Temos que

D T = - 1 2 0 1 2 1 6 - 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3

Então

D - 1 = - 1 2 0 1 2 1 6 - 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3

Resposta

D - 1 = - 1 2 0 1 2 1 6 - 2 6 1 6 1 3 1 3 1 3

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