Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 8
Em cada caso, encontre uma mudança de variável ortogonal que elimine o termo misto da forma quadrática e expresse a forma quadrática em termos das variáveis novas.
Passo 1
Para eliminarmos os termos mistos da forma quadrática o que fazemos é a seguinte mudança de escrita da nossa forma quadrática a associada a
Onde e é a matriz que diagonaliza a nossa matriz , ou seja, o produto é nada mais nada menos que a matriz diagonal associada a . Devemos nos lembrar que essa matriz associada é uma matriz cujos elementos que em tese não serão nulos são os da diagonal principal e seus valores serão os dos autovalores associados à forma quadrática. Sendo assim, nosso problema irá se resumir em encontrar os auto valores associados a cada uma das formas quadráticas descritas no enunciado.
Passo 2
Para o nosso primeiro caso, vamos ter a seguinte forma quadrática
Que em notação matricial será
Assim, a partir do teorema podemos encontrar a equação característica dessa matriz (que nos fornece os autovalores) fazendo
Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica
Cujas raízes são . Dessa forma, podemos eliminar os termos mistos fazendo
Passo 3
Procedendo da mesma forma para a segunda forma quadrática, vamos ter
Sem nos esquecer que a equação característica da nossa matriz de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma
Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo
Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica
Cujas raízes são . Dessa forma, podemos eliminar os termos mistos fazendo
Pronto, está resolvido nosso problema de uma forma simples.