Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 28

Encontre todos os valores de k com os quais a forma quadrática positiva.

3 x 1 2 + x 2 2 + 2 x 3 2 - 2 x 1 x 3 + 2 k x 2 x 3

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Ela só assusta, mas vamos resolver juntos! Temos a seguinte forma quadrática:

3 x 1 2 + x 2 2 + 2 x 3 2 - 2 x 1 x 3 + 2 k x 2 x 3

Para que a forma quadrática acima seja positiva, pelo teorema 7.3.4, o determinante de cada submatriz principal deve ser positivo! Com isso em mente vamos reescrever essa coisa gigantesca na forma matricial:

x T A x = x 1 x 2 x 3 3 0 - 1 0 1 k - 1 k 2 x 1 x 2 x 3

Passo 2

Tá acabando! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:

3 = 3                     3 0 0 1 = 3                   3 0 - 1 0 1 k - 1 k 2 = 5 - 3 k 2

Passo 3

Para que o teorema 7.3.4 seja satisfeito, temos que 5 - 3 k 2 > 0 ! Logo:

5 - 3 k 2 > 0

( 5 - k 3 ) ( 5 + k 3 ) > 0

Sendo assim, temos que:

5 - k 3 > 0 ↔ k <   5 3

5 + k 3 > 0 ↔ k >   - 5 3

Portanto, para - 5 3 < k < 5 3 todos os determinantes das submatrizes são positivos! Isso quer dizer que, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.

Resposta

Portanto, lá vai o gabarito! A forma quadrática é positiva para - 5 3 < k < 5 3 !

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre, se houver, todos os pontos críticos de f e classifique-os como máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela. f x , y = x 3 - 3 x y - y 3
a Mostre que as funções f x , y = x 4 + y 4eg x , y = x 4 - y 4 Têm pontos críticos em 0,0 , mas que o teste da derivada segunda é inconclusivo nesse ponto. b Dê um argumento que mostre que f tem um m
Encontre, se houver, todos os pontos críticos de f e classifique-os como máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela. f x , y = x 2 + 2 y 2 - x 2 y
a Mostre que a função f x , y = x 3 - 6 x y - y 3 tem pontos críticos em 0,0 e - 2,2 . b Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que f tem um máximo relativo em - 2,2 e um ponto
Suponha que a temperatura no ponto x , y de uma placa metálica seja dada por T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2 . Uma formiga caminhando na placa percorre uma circunferência de raio 5 centrada na origem. Q