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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 8

Nos Exercícios 7-8, verifique que os autovalores de A são reais e que os autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais, de acordo com o Teorema 7.5.3.

8. A = 0 2 i - 2 i 2

Passo 1

Vamos começar pelo polinômio característico pra achar os autovalores:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 1 - 0 2 i - 2 i 2 = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 2 i - 2 i 2 = 0

det ⁡ λ - 2 i 2 i λ - 2 = 0

λ λ - 2 - 2 i - 2 i = 0

λ λ - 2 + 2 2 i 2 = 0

λ 2 - 2 λ - 4 = 0

Achando os autovalores:

λ 2 - 2 λ - 4 = 0

λ = 2 ± - 2 2 - 4 1 - 4 2

λ = 2 ± 20 2

λ = 1 ± 5

E são reais, como queríamos demonstrar.

Passo 2

Agora vamos achar os autovetores:

λ I - A x = 0

λ - 2 i 2 i λ - 2 x 1 x 2 = 0 0

Pra λ = 1 + 5 :

1 + 5 - 2 i 2 i 1 + 5 - 2 x 1 x 2 = 0 0

5 + 1 - 2 i 2 i 5 - 1 x 1 x 2 = 0 0

Olhaaa... a gente não tem solução única pra esse sistema... sabe por que????? Vou te dizer, então. Pra gente achar os autovalores a gente calcula o determinante e igual a zero. E lembra que pra o sistema ter solução única o determinante tem que ser diferente de zero??? Pois é.

Vamos então chamar:

x 2 = t

E:

5 + 1 x 1 + - 2 i x 2 = 0

x 1 = - - 2 i x 2 5 + 1

Substituindo x 2 = t :

x 1 = 2 i   t 5 + 1

O autovetor fica, então:

x = t 2 i 5 + 1 1

E a base do autoespaço: 2 i 5 + 1 1 .

Passo 3

Pra λ = 1 - 5 :

1 - 5 - 2 i 2 i 1 - 5 - 2 x 1 x 2 = 0 0

- 5 + 1 - 2 i 2 i - 5 - 1 x 1 x 2 = 0 0

Chamando:

x 2 = t

E:

- 5 + 1 x 1 + - 2 i x 2 = 0

x 1 = - - 2 i x 2 - 5 + 1

Substituindo x 2 = t :

x 1 = - 2 i   t 5 - 1

O autovetor fica, então:

x = t - 2 i 5 - 1 1

E a base do autoespaço: - 2 i 5 - 1 1 .

Passo 4

Agora vamos fazer o produto interno com os autovetores pra saber se eles realmente são ortogonais.

2 i 5 + 1 , 1 ⋅ - 2 i 5 - 1 , 1 = 2 i 5 + 1 - 2 i 5 - 1 ¯ + 1 1

= 2 2 i 2 5 2 - 1 2 + 1

= - 4 5 - 1 + 1

= - 4 4 + 1

= - 1 + 1

= 0

Que notícia maravilhosa.

Então são ortogonais, como queríamos demonstrar.

Resposta

Os autovalores são reais e os autovetores são ortogonais.

Ver Outros Exercícios desse livro

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