Prove que se P for uma matriz estocástica cujas entradas são todas maiores do que ou iguais a ρ , então as entradas de P 2 serão maiores do que ou iguais a ρ .

Passo 1

Temos que P é uma matriz estocástica cujas entradas são maiores ou iguais a ρ . Dessa forma, temos que

P i j ≥ ρ       ∀   i , j ∈ d i m e n s ã o   d e   P

Onde P é uma matriz de dimensão n × n então. Agora, tomemos o seguinte

P 2 i j = ∑ k = 1 n P i k ⋅ P k j   = P i 1 ⋅ P 1 j + … + P i n ⋅ P n j ≥ ρ 2 + … + ρ 2 ≥ n ρ 2 ≥ ρ

Mas já sabemos que

∑ j = 1 n P i j = 1

Isso implica que

1 ≥ n ρ

∴ P ≥ n ρ 2

Dessa forma, podemos concluir que

P 2 i j ≥ ρ

Como queríamos demonstrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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