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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.12 - Ex. 24

Prove que se P for uma matriz estocástica cujas entradas são todas maiores do que ou iguais a ρ , então as entradas de P 2 serão maiores do que ou iguais a ρ .

Passo 1

Temos que P é uma matriz estocástica cujas entradas são maiores ou iguais a ρ . Dessa forma, temos que

P i j ≥ ρ       ∀   i , j ∈ d i m e n s ã o   d e   P

Onde P é uma matriz de dimensão n × n então. Agora, tomemos o seguinte

P 2 i j = ∑ k = 1 n P i k ⋅ P k j   = P i 1 ⋅ P 1 j + … + P i n ⋅ P n j ≥ ρ 2 + … + ρ 2 ≥ n ρ 2 ≥ ρ

Mas já sabemos que

∑ j = 1 n P i j = 1

Isso implica que

1 ≥ n ρ

∴ P ≥ n ρ 2

Dessa forma, podemos concluir que

P 2 i j ≥ ρ

Como queríamos demonstrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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No exercício 2, em cada parte determine se A é uma matriz estocástica. Se A não for estocástica, explique por que não é. A = 1 / 12 1 / 9 1 / 6 1 / 2 0 5 / 6 5 / 12 8 / 9 0
No exercício 2, em cada parte determine se A é uma matriz estocástica. Se A não for estocástica, explique por que não é. A = - 1 1 / 3 1 / 2 0 1 / 3 1 / 2 2 1 / 3 0
No exercício 6, em cada parte, determine se P é uma matriz estocástica regular. P = 1 / 2 1 1 / 2 0
No exercício 2, em cada parte determine se A é uma matriz estocástica. Se A não for estocástica, explique por que não é. A = 0,2 0 , 8 0 , 9 0,1
No exercício 5, em cada parte, determine se P é uma matriz estocástica regular. P = 1 / 5 1 4 / 5 0