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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 5

5. Em cada parte, decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P 2 discutido no Exemplo 7 da Seção 6.1.

(a) p → 1 x = 2 3 - 2 3 x + 1 3 x 2 ,   p → 2 x = 2 3 + 1 3 x - 2 3 x 2 ,   p → 3 x = 1 3 + 2 3 x + 2 3 x 2

(b) p → 1 x = 1 ,   p → 2 x = 1 2 x + 1 2 x 2 ,   p → 3 x = x 2

Passo 1

O produto interno, nesse caso, é:

p → 1 ⋅ p → 2 = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2

E pra ser ortogonal:

p → 1 ⋅ p → 2 = 0

p → 1 ⋅ p → 3 = 0

p → 2 ⋅ p → 3 = 0

Passo 2

(a) Fazendo o produto interno:

p → 1 ⋅ p → 2 = 2 3 2 3 + - 2 3 1 3 + 1 3 - 2 3

p → 1 ⋅ p → 2 = 0

p → 1 ⋅ p → 3 = 2 3 1 3 + - 2 3 2 3 + 1 3 2 3

p → 1 ⋅ p → 3 = 0

p → 2 ⋅ p → 3 = 2 3 1 3 + 1 3 2 3 + - 2 3 2 3

p → 2 ⋅ p → 3 = 0

Então é ortogonal.

Passo 3

(b)   p → 1 x = 1 ,   p → 2 x = 1 2 x + 1 2 x 2 ,   p → 3 x = x 2 Fazendo o produto interno:

p → 1 ⋅ p → 2 = 1 0 + 0 1 2 + 0 1 2

p → 1 ⋅ p → 2 = 0

p → 1 ⋅ p → 3 = 1 0 + 0 0 + 0 1

p → 1 ⋅ p → 3 = 0

p → 2 ⋅ p → 3 = 0 0 + 1 2 0 + 1 2 1

p → 2 ⋅ p → 3 = 1 2

Então não é ortogonal.

Resposta

(a) Sim

(b) Não

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