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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 3 c

3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.

(a) 1 0 0 1 (b)   1 2 - 1 2 1 2 1 2

(c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3

(e) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 (f) 1 0 0 0 0 1 3 - 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 3 1 2 0

Passo 1

(c) Uma matriz é ortogonal, se

C C T = C T C = I

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

C = a b c d e f g h i

C T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Calculando a transposta de C

C = 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2

C T = 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 2

Passo 4

Retornando para

C T C = I

C T C = 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 2 ∙ 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2

Passo 5

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

C = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e D = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 6

Calculando:

C T C = 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 2 ∙ 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2

C T C = 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 0 ∙ 1 2 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 2 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 1 ∙ 1 2 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 2 1 2 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 1 2 ∙ 0 1 2 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + 1 2 ∙ 0 1 2 ∙ 1 2 + 0 ∙ 0 + 1 2 ∙ 1 2

C T C = 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0 1 2 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 2 + 0 + 0 1 2 + 0 + 1 2

C T C = 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 2 2

C T C = 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 1

Então, temos

C T C ≠ I

Resposta

Matriz C não é ortogonal.

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Consideremos o subespaço S = x , y , z x - z = 0 } com o produto interno x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z ' Determinar S ⊥ e uma base de S ⊥ .
Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 y - 2 z = 0 }
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespeaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 1 ,0 ,- 1 ,1 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,0 ,1 ) e v 3 = ( 1 ,1 ,- 1 ,2 ) .
Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 x + y + z = 0 }
Seja V = R 3 munido do produto interno usual. Dados os subespaços S 1 = x , y , z x - 2 y + 3 z = 0 } S 2 = t2 ,1 ,- 1 t ∈ R } determinar S 1 ⊥ e S 2 ⊥ .