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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 3 b

3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.

(a) 1 0 0 1 (b)   1 2 - 1 2 1 2 1 2

(c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3

(e) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 (f) 1 0 0 0 0 1 3 - 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 3 1 2 0

Passo 1

(b) Uma matriz é ortogonal, se

B B T = B T B = I

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

B = a b c d e f g h i

B T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Calculando a transposta de B

B = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

B T = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Passo 4

Retornando para

B T B = I

B T B = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 ∙ 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Passo 5

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

C = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e D = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 6

Calculando:

B T B = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 ∙ 1 2 - 1 2 1 2 1 2

B T B = 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2

B T B = 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2

B T B = 2 2 0 2 0 2 2 2

B T B = 1 0 0 1

Então, temos

B T B = I

Passo 7

Como a matriz A é ortogonal, temos que por definição

B - 1 = B T

Temos que

B T = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Então

B - 1 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Resposta

B - 1 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

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3. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 3 .(a) 1 2 , 0 , 1 2 , 1 3 . 1 3 , - 1 3 ,- 1 2 , 0 , 1 2 (b) 2 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 ,
Mostre que p = 1 - x + 2 x 2 e q = 2 x + x 2 são ortogonais em relação ao produto interno do E x e r c í c i o2 í .
Verifique se existem se existem escalares k e l tais que os vetores u = 2 , k , 6 , v = l , 5,3 e w = 1,2 , 3 sejam mutuamente ortogonais em relação ao produto interno euclidiano.
Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre os valores de k com os quais os vetores u e v são ortogonais. u = 2,1 , 3 , v = 1,7 , k u = k , k , 1 , v = k , 5,6
Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano e considere u = 1,1 , - 1 e v = 6,7 , - 15 . Encontre um valor de a com o qual a u + v = 13 .