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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 27

Em cada parte, encontre, se houver, todos os escalares complexos k com os quais u → e v → são ortogonais em C 3 .

  1. u → = ( 2 i , i , 3 i ) , v → = ( i , 6 i , k )
  2. u → = k , k , 1 + i , v → = ( 1 , - 1,1 - i )

Passo 1

  1. u → = 2 i , i , 3 i , v → = i , 6 i , k

    2. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.

    Vamos calcular o produto escalar:

    u → ⋅ v → = 2 i , i , 3 i ⋅ i , 6 i , k u ⋅ v = 2 i ⋅ i + i ⋅ 6 i + 3 i ⋅ k u ⋅ v = - 8 + 3 i ⋅ k

    E agora vamos igualar a zero:

    - 8 + 3 i ⋅ k = 0

    Isolamos o k

    k = 2 i ⋅ i + i ⋅ 6 i 3 i

    k = 8 3 i

    Passo 2

  2. u → = k , k , 1 + i , v → = ( 1 , - 1,1 - i )

Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.

Vamos calcular o produto interno:

u → ⋅ v → = k , k , 1 + i ⋅ 1 , - 1,1 - i u → ⋅ v → = k ⋅ 1 + k ⋅ - 1 + 1 + i ⋅ 1 - i u → ⋅ v → = k - k + 1 2 - i 2 u → ⋅ v → = 2

Perceba que não existe nenhum k   que pertença aos reais ou aos complexos que seja capaz de zerar o produto interno. Ou seja, os vetores nunca serão ortogonais entre si.

Resposta

  1. k = 8 3 i
  2. ∄   k
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