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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 33

Prove que vec u e vec v forem vetores em C^n , então:

vec u * vec v = (1)/(4) ‖vec u + vec v‖^2 - (1)/(4) ‖vec u - vec v‖^2 + (i)/(4) ‖vec u + i vec v‖^2 - (1)/(4) ‖vec u - i vec v‖^2

Passo 1

E agora vamos para a expressão:

vec u * vec v = (1)/(4) ‖vec u + vec v‖^2 - (1)/(4) ‖vec u - vec v‖^2 + (i)/(4) ‖vec u + i vec v‖^2 - (i)/(4) ‖vec u - i vec v‖^2

Colocamos 1 // 4 em evidência:

vec u * vec v = (1)/(4) [‖vec u + vec v‖^2 - ‖vec u - vec v‖^2 + i ‖vec u + i vec v‖^2 - i ‖vec u - i vec v‖^2]

Lembre-se que: ‖vec a‖^2 = vec a * vec a . Então vamos aplicar isso na expressão:

vec u * vec v = (1)/(4) [ ( vec u + vec v ) ( vec u + vec v ) - ( vec u - vec v ) ( vec u - vec v ) + i ( vec u + i vec v ) ( vec u + i vec v ) - i ( vec u - i vec v ) ( vec u - i vec v ) ]

Vamos multiplicar os parênteses:

vec u * vec v = (1)/(4) [ ( vec u vec u + 2 vec u vec v + vec v vec v ) - ( vec u vec u - 2 vec u vec v + vec v vec v ) + vec u * vec v = + ( vec u vec u - i vec u vec v + i vec u vec v + i^2 vec v vec v ) i - ( vec u vec u + i vec u vec v - i vec u vec v + i^2 vec v vec v ) i ]

Vamos executar algumas subtrações e depois reorganizar:

vec u * vec v = (1)/(4) [ (vec u vec u + 2 vec u vec v + vec v vec v - vec u vec u + 2 vec u vec v - vec v vec v) vec u * vec v = + (vec u vec u + i^2 vec v vec v - vec u vec u - i^2 vec v vec v) i ]

vec u * vec v = (1)/(4) [ (4 vec u * vec v) ]

E chegamos

vec u * vec v = vec u * vec v

E isso prova que a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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