Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 21
Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator pela matriz de rotação de ângulo . Encontre e o ângulo tal que
Passo 1
O Teorema 5.3.7 diz que para uma matriz do formato: os autovalores da matriz são:
E que a matriz pode ser fatorada como:
Mas se a gente fizer o produto matricial, vamos chegar em:
O que implica dizer que:
Vamos aplicar isso na matriz dada pela questão:
Passo 2
A questão nos dá a seguinte matriz:
Ou seja:
Pelo Teorema 5.3.7 os autovalores dessa matriz são:
Então o valor absoluto dos autovalores serão:
Passo 3
E para calcular o ângulo vamos usar as seguintes relações:
Vamos aplicar os valores:
Logo:
Resposta
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Nos Exerícios 15-18, encontre os autovalores e as bases dos autoespaços de A. A = 4 1 - 5 0
Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator | λ | pela matriz de rotação de ângulo ϕ . Encontre
Mostre que se A for uma matriz real n × n e x → um vetor coluna em C n , então R e A x → = A R e x → e I m A x → = A ( I m x → ) .
Prove o Teorema 5.3.2
As matrizes σ 1 = 0 1 1 0σ 2 = 0 - i i 0σ 3 = 1 0 0 - 1 Denominadas matrizes spin de Pauli são utilizadas na Mecânica Quantica para estudar o spin de partículas. As matrizes de Dirac que também são ut