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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.11 - Ex. 12

Em cada parte, expresse a matriz como um produto de matrizes elementares e descreva o efeito da multiplicação por A em termos de compressões, expansões, reflexões e cisalhamentos.

  1. A = 2 0 0 3
  2. A = 1 4 2 9
  3. A = 0 - 2 4 0
  4. A = 1 - 3 4 6

Passo 1

  1. Essa questão é um pouco delicada, mas vamos lá, precisamos analisar cada item pra transformarmos essa matriz em uma matriz identidade que é:

    1 0 0 1

    2 0 0 3 ⋅ 1 2 0 0 1 ⋅ 1 0 0 1 3 = 1 0 0 1

    Agora pra encontrarmos as matrizes elementares usamos as inversas das matrizes que usamos pra chegar na matriz identidade.

    1 2 0 0 3 - 1 e   1 0 0 1 3 - 1

    Assim temos:

    A = 2 0 0 3 = 1 0 0 3 ⋅ 2 0 0 1

    A expande o termo x por um coeficiente de 2   e o termo y por um coeficiente de 3.

    Passo 2

  2. Vamos seguir a mesma lógica do item anterior.

    1 4 2 9 ⋅ 1 0 - 2 1 ⋅ 1 - 4 0 1 = 1 0 0 1

    Usamos a inversa de:

    1 0 - 2 1 - 1 e   1 - 4 0 1 - 1

    Assim encontramos:

    A = 1 4 2 9 = 1 4 0 1 ⋅ 1 0 2 1

    A cisalha por um fator 2 na direção y , seguido de um cisalhamento por um fator 4 na direção x .

    Passo 3

  3. Vamos seguir a mesma lógica do item (a).

    0 1 1 0 ⋅ 0 - 2 4 0 ⋅ 1 4 0 0 1 ⋅ 1 0 0 - 1 2 = 1 0 0 1

    Usamos a inversa de:

    0 1 1 0 - 1 , 1 4 0 0 1 - 1 e   1 0 0 - 1 2 - 1

    Assim encontramos:

    A = 0 - 2 4 0 = 0 1 1 0 ⋅ 4 0 0 1 ⋅ 1 0 0 - 2

    A faz uma reflexão na reta x = y depois expande x por um coeficiente de 4 e em seguida expande y por um coeficiente de 2 .

    Passo 4

Vamos seguir a mesma lógica do item (a).

1 - 3 4 6 ⋅ 1 0 - 4 1 ⋅ 1 0 0 1 18 1 3 0 1 = 1 0 0 1

Usamos a inversa de:

1 0 - 4 1 - 1 , 1 0 0 1 18 - 1 e   1 3 0 1 - 1

Assim encontramos:

A = 1 - 3 4 6 = 1 0 4 1 ⋅ 1 0 0 18 ⋅ 1 - 3 0 1

A cisalha por um fator 4 na direção y , seguido de uma expansão por um fator k = 18 na direção y , seguido de um cisalhamento por um fator - 3 na direção x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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