Enunciado

Em cada parte, use o Teorema 4.10.3 para encontrar a matriz canônica do operador matricial a partir das imagens dos vetores da base canônica

  1. As reflexões em R 2 da Tabela 1 da Seção 4.9 .
  2. As reflexões em R 3 da Tabela 2 da Seção 4.9.
  3. As projeções em R 2 da Tabela 3 da Seção 4.9.
  4. As projeções em R 3 da Tabela 4 da Seção 4.9.
  5. As rotações em R 2 da Tabela 5 da Seção 4.9.
  6. As dilatações e contrações em R 3 da Tabela 8 da Seção 4.9.

Passo 1

Vamos lá! o teorema 10.3 nos diz que:

TEOREMA 4.10.3 Toda transformação linear de R n   em R m é uma transformação matricial

e, reciprocamente, toda transformação matricial de R n em R m é uma transformação

linear.

Agora vamos aplicar o teorema:

  1. Para as reflexões em R 2 temos:

    As matrizes marcadas em amarelo representam nossa matriz canônica a partir das imagens T ( e 1 ) e T ( e 2 )

    Passo 2

  2. Para as reflexões em R 3 temos:

    As matrizes marcadas em amarelo representam nossa matriz canônica a partir das imagens T ( e 1 ) , T ( e 2 ) e T ( e 3 ) marcadas em laranja.

    Passo 3

  3. Para as projeções em R 2 temos:

    As matrizes marcadas em amarelo representam nossa matriz canônica a partir das imagens T ( e 1 ) e T ( e 2 ) marcadas em laranja.

    Passo 4

  4. Para as projeções em R 3 temos:

    As matrizes marcadas em amarelo representam nossa matriz canônica a partir das imagens T ( e 1 ) , T ( e 2 ) e T ( e 3 ) marcadas em laranja.

    Passo 5

  5. Para as rotações em R 2 temos:

    A matriz marcada em amarelo representa nossa matriz canônica a partir das equações lineares w 1 e w 2 marcadas em laranja.

    Passo 6

Para as dilatações e contrações em R 3 temos:

Sendo nossa imagem T e = k ( x ,   y ,   z ) , temos a matriz canônica marcada em amarelo logo acima.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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