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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 21

Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:

Centro C 2 ,   - 1 , tangente aos eixos coordenados e eixo de simetria paralelo aos eixo dos coordenados.

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação é na forma x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro.

  • Se é tangente aos eixos coordenados junto com os eixos de simentria, então os semi-eixos são dados partindo de x c = 2 para x = 0 e y c = - 1 para y = 0 .

A maior distância do centro para um dos eixos é na direção x . Logo, a 2 será denominador de x - x c 2 .

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los resolvendo as equações e depois jogar na equação da elipse.

Passo 2

Vamos começar determinando a medida do eixo maior.

a = 0 ,   - 1 - 2 ,   - 1

a = ( - 2 ,   0 )

a = 2

Agora, o do semi eixo menor.

b = 2 ,   0 - 2 ,   - 1

b = ( 0 ,   1 )

b = 1

Passo 3

Como x c ,   y c = 2 ,   - 1

Vamos agora jogar esses dados na equação x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

x - 2 2 2 2 + y - ( - 1 ) 2 1 2 = 1

x - 2 2 4 + y + 1 2 1 = 1

Passo 4

Achamos a equação x - 2 2 4 + y + 1 2 1 = 1 . Agora, vamos resolver de forma que eliminemos os denominadores.

Vamos começar multiplicando a equação pelo produto 1 ∙ 4

  x - 2 2 4 + y + 1 2 1 × ( 1 ∙ 4 ) = 1 × ( 1 ∙ 4 )

x - 2 2 + 4 y + 1 2 = 4

x 2 - 4 x + 4 + 4 y 2 + 2 y + 1 = 4

x 2 - 4 x + 4 y 2 + 8 y + 4 = 0

x 2 + 4 y 2 - 4 x + 8 y + 4 = 0

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

x 2 + 4 y 2 - 4 x + 8 y + 4 = 0

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