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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 7f

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 0,6 e 0 , - 6 , e o eixo maior mede 34.
  4. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  5. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  6. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  7. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  8. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

O centro da elipse é no ponto médio entre os dois vértices relativos a um mesmo eixo. Portanto,

C = 0,4 + 0 , - 4 2 = 0,0

Portanto, a elipse realmente está centrada na origem! Além disto, como o eixo menor está localizado no eixo O x , podemos afirmar que o maior denominador será p 2 . Desta forma, podemos representar então, utilizando a definição de que a > b , a elipse da seguinte forma:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom, vamos utilizar as relações do vértice e da amplitude focal.

Como a elipse tem focos no eixo O x , os vértices em relação ao eixo O y são 0 , ± b . Comparando com o vértice 0 , ± 4 , percebemos que b = 4 . Já descobrimos o nosso primeiro parâmetro.

E a amplitude focal? Sabemos que, para uma elipse, ela é calculada por 2 b 2 / a . Portanto,

2 b 2 a = 8 5

a = 5 4 b 2 = 5 4 ⋅ 4 2

a = 20

Portanto, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 400 + y 2 16 = 1

Resposta

x 2 400 + y 2 16 = 1

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