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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 57d

Calcular a área do triângulo de vértices

d) A (- 1 , 2 , - 2) , B = (2 , 3 , - 1) e C ( 0 , 1 , 1 )

Passo 1

d) A (- 1 , 2 , - 2) , B = (2 , 3 , - 1) e C ( 0 , 1 , 1 )

Nosso desafio agora é calcular a área do triângulo de vértices A (- 1 , 2 , - 2) , B = (2 , 3 , - 1) e C ( 0 , 1 , 1 ) . Vamos lá?

Passo 2

A área do triângulo é dada pela fórmula |(vec A B xx vec A C)/(2)| , certo?

Precisamos primeiro então, achar os nossos vetores vec A B e vec A C :

vec A B = B - A = (2 , 3 , - 1) - (- 1 , 2 , - 2) = (3 , 1,1)

vec A C = C - A = (0 , 1 , 1) - ( - 1 , 2 , - 2 ) = ( 1 , - 1 , 3 )

Passo 3

Agora, fazendo o produto vetorial, temos:

vec A B xx vec A C = |[[vec i,vec j,vec k],[3,1,1],[1,-,1,3]]| = 3 vec i + vec j - 3 vec k - (9 vec j - vec i + vec k) = 4 vec i - 8 vec j - 4 vec k = ( 4 , - 8 , - 4 )

Passo 4

Por fim, calculando o módulo e dividindo por 2, temos:

|vec A B xx vec A C| = sqrt(4^2 + ( - 8^2 ) + (- 4)^2) = sqrt(96) = 4 sqrt(6)

Á r e a d o t r i â n g u l o = (|vec A B xx vec A C|)/(2) = (4 sqrt(6))/(2) = 2 sqrt(6) u . a .

Resposta

2 sqrt(6) u.a.

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