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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 42g

Dados os vetores vec u = (2 , - 1 , 1) , vec v = ( 1 , - 1 , 0 ) e vec w = ( - 1 , 2 , 2 ) , calcular:

g) (vec u xx vec v) xx vec w e vec u xx ( vec v xx vec w )

Passo 1

Vamos começar pela primeira operação: (vec u xx vec v) xx vec w .

Do item e, temos que vec u xx vec v = ( 1 , 1 , - 1 ) , pois ele é dado pelo determinante:

vec u xx vec v = |[[hat i,hat j,hat k],[2,-,1,1],[1,-,1,0]]|

vec u xx vec v = 1 hat i + 1 hat j - 1 hat k

Então, o produto vetorial é dado por

vec u xx vec v = ( 1 , 1 , - 1 )

Agora que fizemos o produto vetorial dentro do parênteses, vamos fazer o de fora do parênteses, dado por

(vec u xx vec v) xx vec w = (1 , 1 , - 1) xx ( - 1 , 2 , 2 )

Esse produto vetorial é dado pelo determinante:

(vec u xx vec v) xx vec w = |[[hat i,hat j,hat k],[1,1,-,1],[-,1,2,2]]|

(vec u xx vec v) xx vec w = 4 hat i - 1 hat j + 3 hat k

Então

(vec u xx vec v) xx vec w = ( 4 , - 1 , 3 )

Passo 2

Agora vamos calcular vec u xx ( vec v xx vec w ) . Vamos começar fazendo o produto vetorial dentro do parênteses, vec v xx vec w = ( 1 , - 1 , 0 ) xx ( - 1 , 2 , 2 ) , ele é dado pelo determinante

vec v xx vec w = |[[hat i,hat j,hat k],[1,-,1,0],[-,1,2,2]]|

vec v xx vec w = - 2 hat i - 2 hat j + 1 hat k

vec v xx vec w = ( - 2 , - 2 , 1 )

Agora que fizemos o produto vetorial de dentro, basta fazermos o de fora:

vec u xx (vec v xx vec w) = ( 2 , - 1 , 1 ) xx ( - 2 , - 2 , 1 )

vec u xx (vec v xx vec w) = |[[hat i,hat j,hat k],[2,-,1,1],[-,2,-,2,1]]|

vec u xx (vec v xx vec w) = 1 hat i - 4 hat j - 6 hat k

Então:

vec u xx (vec v xx vec w) = ( 1 , - 4 , - 6 )

Resposta

(vec u xx vec v) xx vec w = ( 4 , - 1 , 3 )

vec u xx (vec v xx vec w) = ( 1 , - 4 , - 6 )

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