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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 6

Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:

2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4

Passo 1

Eaaae galera! Vamos para alguns conceitos importantes. Quando usa R 4   ele se refere ao um espaço real de 4 dimensões, beleza?

Antes de começar as continhas, vamos deixar a matriz com o formato triangular superior, então escalonando

2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4 ∼ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 6

Mas por que fizemos isso? Já explicaremos! Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Passo 2

O I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Agora vamos subtrair a Matriz

2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 6 - λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = 2 - λ 1 0 0 0 2 - λ 0 0 0 0 1 - λ 1 0 0 0 6 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Ah, uma coisa importante: quando é uma matriz normal podemos escrever em parênteses (), ou em colchetes [], mas quanto é determinante deve ser escrito em barras!

2 - λ 1 0 0 0 2 - λ 0 0 0 0 1 - λ 1 0 0 0 6 - λ

É fácil de encontrar o determinante dessa matriz triangular superior! Por quê? Porque o determinante da matriz os números da diagonal principal multiplicados entre si

2 - λ 2 - λ 1 - λ 6 - λ = 0

Uhuul! Encontramos o polinômio característico!

Passo 3

Mas você percebeu que já está fatorado? Isso quer dizer que já encontramos o valor próprio!

( 2 - λ ⏝ ) = 0 1 - λ 6 - λ = 0

Assim λ 1 = 2

2 - λ 1 - λ ⏝ = 0 6 - λ = 0

λ 2 = 1 , e finalmente

2 - λ 2 - λ ( 6 - λ ) ⏝ = 0 = 0

E λ 3 = 6

Resposta

Equação Característica:   2 - λ 2 - λ 1 - λ 6 - λ = 0

Valores Próprios: λ 1 = 2 ;   λ 2 = 1 ;   λ 3 = 6  

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