Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 7
Seja a matriz de um operador do . Ache os valores próprios de .
Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Passo 1
Eaaae galera! Vamos para alguns conceitos importantes. Quando usa ele se refere ao um espaço real de 2 dimensões, beleza?
Temos a matriz
Vamos usar a formulazinha para encontrar os valores próprios
E para descobrir se é L.I. vamos descobrir o vetor próprio, para aplicar a regrinha
Passo 2
O é a matriz identidade e o é o valor que queremos descobrir, logo
Agora vamos subtrair a Matriz
Certinho? Então descobrimos , agora falta colocar no determinante! Ah, uma coisa importante: quando é uma matriz normal podemos escrever em parênteses (), ou em colchetes [], mas quanto é determinante deve ser escrito em barras!
Então fazendo o determinante
Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Você percebeu que já está fatorado? Isso quer dizer que já encontramos o valor próprio! Assim .
Esperaaa um momento, só temos um , isso quer dizer que não existem dois vetores diferentes. Beleza? Então não tem como provar que são linearmente independentes, porque
Colocando em um sistema linear
Resolvendo o sistema
Assim o vetor é
Percebeu que não dá pra ser L.I. porque não existe outro vetor? É isso, pessoal! Já que não é isso, os vetores iguais vão ser linearmente dependentes, porque existem dois autovalores iguais, portanto dois vetores iguais também
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)