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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 25a

Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:

a) P = 1 ,   0 ,   0 ,   Q = ( 2 ,   3 ,   2 )

Passo 1

O que vamos fazer nesse exercício é calcular a distância de P até o plano e depois a de Q até o plano, aí o que der menor, vai ser a distância de P Q até o plano. Porque sempre que falamos de distância estamos falando do menor caminho entre os dois lugares geométricos certo? hehe

Ah, e sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

Então vamos aplicar isso :)

Passo 2

Primeiro vamos calcular a distância entre o ponto P = ( 1 ,   0 ,   0 ) e o plano π :   2 x - 2 y + z - 6 = 0 :

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d P ,   π = 2.1 - 2.0 + 1.0 - 6 2 2 + - 2 2 + 1 ²

d P ,   π = - 4 3 = 4 3

Passo 3

Agora vamos calcular a distância entre o ponto Q = ( 2 ,   3 ,   2 ) e o plano π :   2 x - 2 y + z - 6 = 0 :

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d Q ,   π = 2.2 - 2.3 + 1.2 - 6 2 2 + - 2 2 + 1 ²

d Q ,   π = - 6 3 = 6 3 = 2

Passo 4

Temos que d P ,   π = 4 3 e d Q ,   π = 6 3 , mas

4 3 < 2

Então, como a distância de P até o plano é a menor do segmento P Q , temos que a distância do segmento P Q até o plano π é 4 3 .

Resposta

a) 4 3

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