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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 25c

Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:

b) P = 3 ,   0 ,   - 1 ,   Q = ( - 1 ,   - 2 ,   3 )

Passo 1

O que vamos fazer nesse exercício é calcular a distância de P até o plano e depois a de Q até o plano, aí o que der menor, vai ser a distância de P Q até o plano. Porque sempre que falamos de distância estamos falando do menor caminho entre os dois lugares geométricos certo? hehe

Ah, e sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

Então vamos aplicar isso :)

Passo 2

Primeiro vamos calcular a distância entre o ponto P = ( 3 ,   0 ,   - 1 ) e o plano π :   2 x - 2 y + z - 6 = 0 :

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d P ,   π = 2 . 3 - 2 . 0 + 1 . ( - 1 ) - 6 2 2 + - 2 2 + 1 ²

d P ,   π = - 1 5 = 1 5

Passo 3

Agora vamos calcular a distância entre o ponto Q = ( - 1 ,   - 2 ,   3 ) e o plano π :   2 x - 2 y + z - 6 = 0 :

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d Q ,   π = 2 . ( - 1 ) - 2 . ( - 1 ) + 1 . 3 - 6 2 2 + - 2 2 + 1 ²

d Q ,   π = - 3 5 = 3 5

Passo 4

Temos que d P ,   π = 1 5 e d Q ,   π = 3 5 , mas

1 5 < 3 5

Então, como a distância de P até o plano é a menor do segmento P Q , temos que a distância do segmento P Q até o plano π é 1 5 .

Resposta

c) 1 5

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Obtenha uma equação geral do plano bissetor do diedro agudo determinado pelos planos π 1 : x - 2 y + 3 z = 0 e π 2 : 2 x + y - 3 z = 0 .
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Um dos diedros determinados pelos planos π 1 : x + 2 y - 2 z - 1 = 0 e π 2 : 2 x + y + 2 z + 2 = 0 contém a origem O = ( 0 ,0 ,0 ) . Obtenha uma equação geral do seu plano bissetor.