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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 25b

Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:

b) P = 2 ,   1 ,   5 ,   Q = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 1

O que vamos fazer nesse exercício é calcular a distância de P até o plano e depois a de Q até o plano, aí o que der menor, vai ser a distância de P Q até o plano. Porque sempre que falamos de distância estamos falando do menor caminho entre os dois lugares geométricos certo? hehe

Ah, e sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

Então vamos aplicar isso :)

Passo 2

Primeiro vamos calcular a distância entre o ponto P = ( 2 ,   1 ,   5 ) e o plano π :   2 x - 2 y + z - 6 = 0 :

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d P ,   π = 2.2 - 2.1 + 1.5 - 6 2 2 + - 2 2 + 1 ²

d P ,   π = 1 5 = 1 5

Passo 3

Agora vamos calcular a distância entre o ponto Q = ( 1 ,   1 ,   1 ) e o plano π :   2 x - 2 y + z - 6 = 0 :

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d Q ,   π = 2.1 - 2.1 + 1 - 6 2 2 + - 2 2 + 1 ²

d Q ,   π = - 5 5 = 5 5

Passo 4

Temos que d P ,   π = 1 5 e d Q ,   π = 5 5 , mas

1 5 < 5 5

Então, como a distância de P até o plano é a menor do segmento P Q , temos que a distância do segmento P Q até o plano π é 4 5 .

Resposta

b) 1 5

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