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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 21

Calcule a distância do ponto P ao plano pi

a) P = (0 , 0 , - 6) pi : x - 2 y - 2 z - 6 = 0

b) P = (1 , 1 , (15)/(6)) pi : 4 x - 6 y + 12 z + 21 = 0

c) P = (9 , 2 , - 2) pi : X = (0 , - 5 , 0) + lambda (0 , (5)/(12) , 1) + mu ( 1 , 0 , 0 )

d) P = (1 , 1,1) pi : 2 x - y + 2 z - 3 = 0

Passo 1

Temos que a fórmula de distância entre um ponto P = ( e , f , g ) e um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 é

d (P , pi) = (|a . e + b . f + c . g + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c ²))

Então é só jogarmos nossas informações nessa formulazinha hehe

Passo 2

a) Temos P = ( 0 , 0 , - 6 ) e pi : x - 2 y - 2 z - 6 = 0 , então:

d (P , pi) = (|1.0 - 2.0 - 2 . (- 6) - 6|)/(sqrt(1^2 + (- 2)^2 + ( - 2 ) ²))

d (P , pi) = (|6|)/(sqrt(9)) = (6)/(sqrt(9)) = 2

Passo 3

b) Temos P = (1 , 1 , (15)/(6)) e pi : 4 x - 6 y + 12 z + 21 = 0 , então:

d (P , pi) = (|4.1 - 6.1 + (12.15)/(6) + 21|)/(sqrt(4^2 + (- 6)^2 + 12 ²))

d (P , pi) = (|49|)/(sqrt(196)) = (49)/(14) = (7)/(2)

Passo 4

c) Antes vamos encontrar uma equação geral de pi , temos que seu vetor normal é dado pelo produto vetorial dos seus vetores diretores:

n = (0 , (5)/(12) , 1) ^^ (1 , 0 , 0) = (0 , 1 , - (5)/(12))

Então, nosso plano pode ser escrito assim:

y - (5)/(12) z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 0 , - 5 , 0 ) , que pertence ao plano:

- 5 - (5)/(12) . 0 + d = 0

d = 5

Então, a equação do plano é

y - (5)/(12) z + 5 = 0

Portanto, como P = ( 9 , 2 , - 2 ) :

d (P , pi) = (|0.9 + 1.2 - (5)/(12) . ( - 2 ) + 5|)/(sqrt(1^2 + (- (5)/(12))^2))

d (P , pi) = (|(47)/(6)|)/(sqrt((169)/(144))) = ((47)/(6))/((13)/(12)) = (564)/(78) = (94)/(13)

Passo 5

d) Temos P = (1 , 1 , 1) e pi : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 , então:

d (P , pi) = (|2.1 - 1.1 + 2.1 - 3|)/(sqrt(2^2 + (- 1)^2 + 2 ²))

d (P , pi) = (|0|)/(sqrt(2^2 + (- 1)^2 + 2 ²)) = 0

Opa, nesse caso o ponto está no plano hahaha então a distância é 0 :D

Resposta

a) d (P , pi) = 2

b) d (P , pi) = (7)/(2)

c) d (P , pi) = (94)/(13)

d) d (P , pi) = 0

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