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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 6m

Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.

  1. 4 x 2 + 169 y 2 = 676
  2. x 2 + 2 y 2 / 3 = 8
  3. x 2 / 4 + y 2 / 2 = 0
  4. 8 x 2 + 3 y 2 = 24
  5. 3 x 5 2 + y 2 = 9
  6. x 2 - 4 y 2 = 1
  7. 5 x 2 + 9 y 2 = 45
  8. 3 x 2 + 5 y 2 = 15
  9. 4 x 2 + 9 y 2 + 1 = 0
  10. 16 x 2 - 4 + 4 y 2 = 0
  1. 1 + m 2 x 2 + y 2 = 1 + 2 m 2 + m 4
  2. x 2 + m 2 y 2 = m

Passo 1

Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Se os valores p e q forem maiores do que zero, então, temos uma elipse.

Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma elipse. Caso contrário, não temos uma elipse.

Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,

x 2 + m 2 y 2 = m

x 2 + m 2 y 2 m = m m

x 2 m + y 2 1 m = 1

Agora, temos que tomar muito cuidado. Existem diversas configurações distintas para este problema.

Vamos começar discutindo os casos e que não existirá uma elipse. Portanto,

Se m < 0 , nós não temos uma elipse, pois os denominadores serão negativos.

Se m = 0 , também não teremos uma elipse. Teríamos que substituir na equação original para verificar o que significa. Isto ocorre, pois, ao dividirmos tudo por m , assumimos que ele era diferente de zero.

Por fim, se m = 1 , temos uma circunferência.

Passo 2

Agora, vamos para o caso em que temos uma elipse com focos no eixo O x .

Isto irá ocorrer quando m > 1 , pois, teremos:

m > 1 m

Agora, iremos determinar os outros parâmetros pedidos pela questão. Mas, antes disto, vamos determinar os parâmetros geométricos da elipse.

Logo,

a = p = m

b = q = 1 m

c = a 2 - b 2 = m - 1 m = m 2 - 1 m

Agora sim podemos calcular o que a questão nos pede.

A distância focal tem comprimento 2 c . Portanto, 2 m 2 - 1 m .

O eixo maior tem comprimento 2 a . Portanto, 2 m . Já o eixo menor tem comprimento 2 b . Logo, 2 1 m .

Passo 3

Por fim, vamos para o caso em que temos uma elipse com focos no eixo O y .

Isto irá ocorrer quando 0 < m < 1 , pois, teremos:

1 m > m

Então, determinando os parâmetros geométricos da elipse, temos:

a = q = 1 m = 1 m

b = p = m

c = a 2 - b 2 = 1 m - m = 1 - m 2 m

Agora sim podemos calcular o que a questão nos pede.

A distância focal tem comprimento 2 c . Portanto, 2 1 - m 2 m .

O eixo maior tem comprimento 2 a . Portanto, 2 / m . Já o eixo menor tem comprimento 2 b . Logo, 2 m .

Resposta

Se m > 1 , os focos estão no eixo O x . A distância focal tem comprimento 2 m 2 - 1 m . O eixo maior tem comprimento 2 m e o eixo menor tem comprimento 2 / m .

Se 0 < m < 1 , os focos estão no eixo O y . A distância focal tem comprimento 2 1 - m 2 m . O eixo maior tem comprimento 2 / m e o eixo menor tem comprimento 2 m .

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