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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 8

Esboçar o gráfico e determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas.

4 x 2 + 25 y 2 = 1

Passo 1

Faaaala aí! tudo joia?

Pra começar a gente vai deixar essa equação daquela forma bonitinha:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   o u   x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

(Lembrando que o eixo maior é sempre representado por a ...)

Ali já tá igualado a 1 , então o que a gente tem que fazer é só isso:

x 2 1 / 4   + y 2 1 / 25 = 1

Tranquilinho né?

Agora aqui a gente analisa os termos...

Passo 2

Daqui a gente vê que o centro é em ( 0,0 ) , o eixo maior é paralelo ao eixo x , e é:

a 2 = 1 4 → a = 1 2

E o eixo menor é:

b 2 = 1 25 → b = 1 5

Usando a relação:

a 2 = b 2 + c 2

A gente vai achar c :

1 4 - 1 25 = c 2

c 2 = 21 100

c = 21 10

Pra achar os vértices é só a gente andar a unidades em x a partir do centro ...

Passo 3

Então vamos lá... os vértices são:

A 1 - 1 2 , 0   e     A 2 1 2 , 0

Os focos a gente anda c unidades a partir do centro:

F 1 = - 21 10 , 0   e   F 2 ( 21 10 , 0 )

E a excentricidade é só fazer:

e = 21 10 1 2 = 21 5

Show! Agora com essas informações, a gente vai montar o gráfico😉

Passo 4

Prontinho😉

Resposta

Vértices: A 1 - 1 2 , 0   e     A 2 1 2 , 0

Focos:

F 1 = - 21 10 , 0   e   F 2 ( 21 10 , 0 )

Excentricidade:

e = 21 5

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