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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 19g

Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule a distância focal e as medidas do eixo transverso e conjugado. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.

  1. 9 x 2 - 4 y 2 = 36
  2. 9 x 2 25 - y 2 + 9 = 0
  3. x 2 + 2 y 2 = 1
  4. - m 2 x 2 + 9 y 2 = 36 ,   m > 0
  5. 25 x 2 - 100 y 2 = 0
  6. 5 x 2 - 9 y 2 - 45 = 0
  7. x 2 - y 2 + 1 = 0
  8. x sen ⁡ φ 2 - y cos ⁡ φ 2 + 1 = 0   ( 0 < φ < π / 2 )  

Passo 1

Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Se os valores p e q tiverem sinais trocados, teremos uma hipérbole.

Os focos estarão no eixo relativo à variável positiva (denominador positivo). Por exemplo, se tivermos p > 0 e q < 0 , os focos estarão em O x e não em O y .

Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma hipérbole. Caso contrário, não temos uma hipérbole.

Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,

x 2 - y 2 + 1 = 0

x 2 - y 2 = - 1

x 2 - y 2 - 1 = - 1 - 1

x 2 - 1 + y 2 1 = 1

Pronto, como p = - 1 < 0 e q = 1 > 0 , temos sim uma hipérbole! Em especial, como q > 0 , os focos estão localizados no eixo O y .

Passo 2

Agora, iremos determinar os outros parâmetros pedidos pela questão. Mas, antes disto, vamos determinar os parâmetros geométricos da hipérbole.

Logo,

a = - p = 1 = 1

b = q = 1 = 1

c = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2

Agora sim podemos calcular o que a questão nos pede.

A distância focal tem comprimento 2 c . Portanto, 2 2 .

Para uma hipérbole com focos no eixo O y , o eixo transverso tem comprimento 2 b . Portanto, 2 . Já o eixo conjugado tem comprimento 2 a . Logo, 2 .

Passo 3

A questão também nos pede para compararmos o esboço a mão livre e com o uso de softwares. Entretanto, aqui será feito somente o esboço da hipérbole através de softwares.

Desta forma, temos:

Resposta

Os focos estão no eixo O y .

A distância focal tem comprimento 2 2 . O eixo transverso tem comprimento 2 e o eixo conjugado tem comprimento 2 .

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