Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 10
Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico
Passo 1
Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.
- A equação não está na forma onde são as coordenadas do centro. Portanto, devemos achar uma maneira de deixar nessa forma.
- O semi-eixo menor é dado
- A excentricidade é dada por .
- As assíntotas são dadas pela equação
- Os vértices são dados pelas equações e
- Os focos são dados por e
Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.
Passo 2
Analisando a equação , vamos transformá-la numa equação no formato:
Para isso, a gente observa que na variável , que está multiplicada por 4, é a mesma coisa se estivesse sendo dividida por . O mesmo raciocínio vale para a variável . Assim, temos:
Passo 3
Analisando a equação , temos que, se .
Passo 4
Achando os fatores e , vamos jogar na equação para encontrarmos o fator .
Passo 5
Agora que achamos o fator , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.
Passo 6
Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices e .
Assim,
Passo 7
Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: e
Assim,
Passo 8
Encontrados os pontos, vamos encontrar a equação das assíntotas usando da equação
.
Assim,
Passo 9
Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando a equação da hipérole e as equações das assíntotas:
Pronto, é isso que a questão queria!
Resposta
e