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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 13

13. Quais as condições devem satisfazer a e b para que a matriz

a + b b - a a - b b + a

seja ortogonal?

Passo 1

Uma matriz é ortogonal, se

A A T = A T A = I

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

A = a b c d e f g h i

A T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Calculando a transposta de A

A = a + b b - a a - b b + a

A T = a + b a - b b - a b + a

Passo 4

Retornando para

A T A = I

A T A = a + b a - b b - a b + a ∙ a + b b - a a - b b + a

Passo 5

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

C = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e D = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 6

Calculando:

A T A = a + b a - b b - a b + a ∙ a + b b - a a - b b + a

A T A = a + b ∙ a + b + a - b ∙ a - b a + b ∙ b - a + a - b ∙ b + a b - a ∙ a + b + b + a ∙ a - b b - a ∙ b - a + b + a ∙ b + a

= a 2 + a b + a b + b 2 + a 2 - a b - a b + b 2 a b - a 2 + b 2 - a b + a b + a 2 - b 2 - a b a b + b 2 - a 2 - a b + a b - b 2 + a 2 - a b b 2 - a b - a b + a 2 + b 2 + a b + a b + a 2

Reorganizando

= a 2 + a 2 + a b + a b - a b - a b + b 2 + b 2 - a 2 + a 2 + a b - a b + a b - a b + b 2 - b 2 - a 2 + a 2 + a b - a b + a b - a b + b 2 - b 2 a 2 + a 2 - a b - a b + a b + a b + b 2 + b 2

A T A = 2   a 2 + 2   a b - 2   a b + 2   b 2 0 + 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 + 0 2   a 2 - 2   a b + 2   a b + 2   b 2

A T A = 2   a 2 + 0 + 2   b 2 0 0 2   a 2 + 0 + 2   b 2

A T A = 2   a 2 + 2   b 2 0 0 2   a 2 + 2   b 2

Colocando o 2 em evidência

A T A = 2   a 2 + b 2 0 0 2   a 2 + b 2

Igualando a matriz identidade

A T A = 2   a 2 + b 2 0 0 2   a 2 + b 2

Então, temos

A T A = I

2   a 2 + b 2 0 0 2   a 2 + b 2 = 1 0 0 1

Montando as igualdades temos

2   a 2 + b 2 = 1 e 2   a 2 + b 2

Como são as mesmas equações, posso trabalhar em apenas uma

2   a 2 + b 2 = 1

Simplificando por 2

a 2 + b 2 = 1 2

Resposta

A condição requerida é que a 2 + b 2 , seja igual a 1 2

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