Exercícios de Ângulo Entre Dois Vetores - Lista de Exercícios Resolvida

Sejam vetores tais que . Considere as afirmativas:

1. e são ortogonais.
2. É possível que

I e II são verdadeiras.

I é verdadeira e II é falsa

I é falsa e II é verdadeira

I e II são falsas.

Seja a função

Sabendo que é um produto interno em , calcule um vetor ortogonal a .

Consideremos, no , o produto interno usual. Para que valores de os vetores e são ortogonais?

Seja uma rotação do plano de ângulo . Sabendo que e , determine .

Se

são matrizes quaisquer de , a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço:

Dados os vetores

Determinar o ângulo entre e

Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores , e , calcular o cosseno do ângulo entre e .

Seja uma rotação em relação ao eixo . Sabe-se que . Determine o ângulo de rotação.

Dica: pense no plano perpendicular ao eixo de rotação.

Considere o produto interno usual do e seja um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

Se não existirem dois vetores de ortogonais entre si então é linearmente dependente

Se é linearmente independente então pelo menos dois vetores de são ortogonais entre si

Se é linearmente independente então os vetores de são todos ortogonais entre si

Se é linearmente dependente então os vetores de não podem ser todos ortogonais entre si

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, considere as seguintes afirmações:

Qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é linearmente independentes.

Dados dois vetores não nulos e quaisquer, temos .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Para qual valor de a o triângulo é retângulo no vértice A, onde

(a) 2

(b) -4

(c) -1/2

(d) 1/4

O ângulo entre os vetores (1,2,2,1) e (1, 0, 2,-1) è:

(a) agudo.

(b) obtuso.

(c) reto.

(d) indefinido.

Sejam e e seja um vetor não-nulo e ortogonal a ambos. A transformação linear satisfaz e . Então podemos afirmar que é igual a:

Considere o produto interno usual do e seja um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

Se não existirem dois vetores de ortogonais entre si então é linearmente dependente.

Se é linearmente independente então pelo menos dois vetores de são ortogonais entre si.

Se é linearmente independente então os vetores de são todos ortogonais entre si.

De é linearmente dependente então os vetores de não podem ser todos ortogonais entre si.

Considere no espaço vetorial (isto é, os polinômios de grau ) o produto interno dado por .

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

e são ortogonais

e são ortogonais

e são ortogonais

e são ortogonais

O ângulo formado pelos vetores e satisfaz:

O cosseno do ângulo entre e vale:

Considere em os polinômios e . Em relação ao produto interno usual de , .

1. Calcule .
2. Calcule a distância entre e , ou seja .
3. Determine o ângulo entre e .

Qual dos vetores abaixo forma o maior ângulo com o vetor (1,2,0,2)?

(a) (1,-3,0,2)

(b) (1,1,-3,1)

(c) (1,2,-3,3)

(d) (1,1,1,1)

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se e então e não são ortogonais seja qual for

No espaço dos polinômios de grau menos ou igual a 2, considere o produto interno definido como O cosseno do ângulo entra os polinômios e é:

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere os vetores e de . Seja o ângulo entre eles. Então:

(a)

(b)

(c)

(d)

Calcule a área do triângulo de vertices e em

(a) 1

(b) 2

(c

(d)

Seja um conjunto ortonormal de . Seja o tetraedro cujas arestas são representadas por . Calcule a área da superfície de :

(a)

(b)

(c)

(d)

Calcule , onde é o ângulo formado por e

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja um espaço vetorial munido com produto interno dado por:

(a) Determine o ângulo entre os polinômios e .

Se em relação a uma base ortonormal , e , determine o valor de tal que seja ortogonal a e forme ângulo agudo com .

Considere as retas e .

1. Determine a posição relativa entre e .
2. Calcule o cosseno do ângulo entre e .
3. Escreva uma equação vetorial para a reta que passa por e é perpendicular à . (Bônus: determine

No paralelepípedo da figura, , , , . Calcule o comprimento da diagonal desse paralelepípedo que tem origem em .

Em um sistema de coordenadas ortogonal são dados os pontos , e .

a) Determine as coordenadas do ponto pertencente ao segmento tal que

b) Mostre que o ângulo formado por e é igual ao ângulo formado por e .

Seja um conjunto de vetores dois a dois ortogonais:

– é ortogonal a

– é ortogonal a

a) Ambas são verdadeiras

b) é verdadeira e é falsa

c) é falsa e é verdadeira

d) Ambas são falsas

e) Não sei

Assinale o vetor que faz o menor ângulo com o vetor :

a)

b)

c)

d)

e) Não sei

Considere os vetores unitário e com norma 2 que formam um ângulo tal que . Calcule

a)

b)

Sejam e vetores do tal que e . Pode-se afirmar que, necessariamente,

1. e são ortogonais

é verdadeira e é falsa

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Sejam e vetores ortogonais de tal que e . Qual dos vetores abaixo pode ser o vetor ?

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, considere as seguintes afirmações:

Qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é linearmente dependentes.

Dados dois vetores não nulos e , temos .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Para quais valores de os vetores e NÃO SÃO ortogonais entre si?

Considere a reta

E os pontos e Seja o ponto de tal que os ângulos e sejam congruentes. Temos que é igual a:

Seja o ângulo entre os vetores e Assinale a alternativa correta:

(a)

(b)

(c)

(d)

Sejam uma base ortonormal positiva, , , , e um ponto qualquer no espaço.

a) Sabendo que e . Mostre que , e são vértices de um triângulo.

b) Determine o ângulo . Esse é um ângulo agudo ou obtuso?

c) Mostre que .

d) Determine o vetor projeção ortogonal .

e) Determine .

f) Considere os pontos , e tais que e . Determine os valores de para que a área do triângulo seja 5.

Sejam e dois vetores ortogonais não nulos. Então podemos afirmar que:

Qual dos vetores abaixo é ortogonal ao vetor e pertence ao plano gerado pelos vetores e ?

Seja um conjunto ortonormal de vetores não nulos:

é verdadeira e é falsa

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Seja um conjunto ortonormal.

Qual das opções abaixo é a CORRETA?

e são verdadeiras.

e são falsas.

é verdadeira, mas é falsa.

é falsa, mas é verdadeira.

Assinale a área do paralelogramo definido pelos pontos e:

1. .
2. .
3. .
4. .

Assinale o vetor que faz o menor ângulo como o vetor

1. .
2. .
3. .
4. .

Dado o produto interno em (espaço dos polinômios da forma definido por , assinale o polinômio que é ortogonal a :

Seja uma rotação em torno do eixo gerado por . Suponha que mande o vetor no vetor . Calcule o ângulo da rotação. (Sugestão: Utilize a projeção no plano perpendicular ao eixo de rotação)

graus

graus

graus

graus

Em um sistema ortogonal de coordenadas são dados os pontos , e .

1. Mostre que , e não são colineares.
2. Determine as coordenadas do ponto de modo que (nessa ordem) seja um paralelogramo.
3. Determine o ângulo entre e .

Sejam e dois vetores e sejam e . Se e e , calcule:

1. O produto interno ;
2. O ângulo entre os vetores e .

Considere o espaço com o seu produto interno usual: