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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 8 b

8. Se x ' y ' z ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo no eixo z positivo) pelo ângulo θ = π 4 .

(a) Encontre as coordenadas x ' y ' z ' do ponto cujas coordenadas x y z são - 1 ,   2 ,   5 .

(b) Encontre as coordenadas x y z do ponto cujas coordenadas x ' y ' z ' são 1 ,   6 ,   - 3 .

Passo 1

(b) Quando temos um sistema de coordenadas retangulares x y z , e giramos no sentido anti-horário obtemos um novo sistema de coordenadas x ' y ' z ' .

O novo sistema de coordenadas e o antigo estão relacionados por

x ' y ' z ' = P - 1 x y z

x y z = P x ' y ' z '

Onde

P = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Passo 2

Calculando o sen ⁡ θ e cos ⁡ θ

sen ⁡ π 3 = 3 2  

cos ⁡ π 3 = 1 2

Passo 3

Retornando para

x y z = P x ' y ' z '

Reescrevendo

x y z = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ∙ x ' y ' z '

Substituindo os valores temos

x y z = 2 2 - 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 ∙ 1 6 - 3

Passo 4

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 5

Calculando:

x y z = 2 2 - 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 ∙ 1 6 - 3

x y z = 2 2 ∙ 1 - 2 2 ∙ 6 + 0 ∙ - 3 2 2 ∙ 1 + 2 2 ∙ 6 + 0 ∙ - 3 0 ∙ 1 + 0 ∙ 6 + 1 ∙ - 3

x y z = 2 2 - 6 2 2 + 0 2 2 + 6 2 2 + 0 0 + 0 - 3

x y z = - 5 2 2 7 2 2 - 3

Resposta

x y z = - 5 2 2 7 2 2 - 3

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Considere P 2 com o produto interno do E x e m p l o7 da Seção 6.1 . Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre p e q . p = - 1 + 5 x + 2 x 2 , q = 2 + 4 x - 9 x 2 p = x - x 2 , q = 7 + 3 x + 3
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