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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2 - Ex. 13e

Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 2 ,   em que A =   a b / 2 b / 2 c . e) Mostre que sempre existe um ângulo θ tal que R θ t A R θ =   a ' 0 0 c ' e portanto tal que a mudança de coordenadas dada por X = Q X ' transforma (7.4) em (7.5) na página 463.

Passo 1

Fala aeee, tudo blz? 😊

A equação 7.4 é dada por:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

Fazendo a mudança de coordenadas para um ângulo θ , temos:

X t A X + K X + f = 0

Passo 2

Fazendo a mudança de coordenadas:

X =   R θ X ' ,   X ' =   x ' y '  

X ' t B X ' + K ' X ' + f =   0

Assim:

R θ t A R θ = B =   a ' b ' 2 b ' 2 c '

Passo 3

Agora, como a inversa de R θ é R θ t .   Temos:

I 2 =   R θ t R θ

Assim:

det ⁡ B - λ I 2 = det ⁡ R θ t det ⁡ A - λ I 2 d e t ⁡ ( R θ )

det ⁡ B - λ I 2 = det ⁡ A - λ I 2

Portanto:

Existe um ângulo θ tal que R θ t A R θ =   a ' 0 0 c '

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 2 , em que A =a b / 2 b / 2 c . b)Mostre que se b ≠ 0 , então as raízes são distintas, ou seja, a ' ≠ c ' .
Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 1 x 2 + 6 x y + 13 y 2 = 132
Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 2 , em que A =a b / 2 b / 2 c . c)Sejam a’ e c’ raízes distintas de p λ . Mostre que se X 1 é solução de A - a ' I 2 X = 0 → e X 2 é solução de A - c ' I 2 X
Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , com a , b , c , d , e , f∈ R , sendo a , bec não simultaneamente nulos. Sejam a’ e c’ raízes
Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 2 , em que A =a b / 2 b / 2 c . b)Mostre que se b ≠ 0 , então as raízes são distintas, ou seja, a ' ≠ c ' .