Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2 - Ex. 4

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 1 x 2 + 6 x y + 13 y 2 = 132

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 2 1

b =   6

c = 1 3

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 2 1 3 3 1 3

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 2 1 - λ 3 3 1 3 - λ = λ 2 - 34 λ + 264

λ 2 - 34 λ + 264 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 1 2

λ 2 = 22

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 12 I 2 X   = 0 →

9 3 3 1 x y = 0 0

9 x + 3 y = 0

9 x = - 3 y

- 3 x = y

Solução Geral:

W = α , - 3 α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

α 2 + 9 α 2 = 1

α =   ± 1 10

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 1 10 , 3 10

T = ( - 3 10 , 1 10 )

P = U , T = 1 10 - 3 10 3 10 1 10

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 21 x 2 + 6 x y + 13 y 2 = 132 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1 2 = 132

∁ : 12 x 1 2 + 22 y 1 2 = 132 ( ÷ 132 )

∁ : 1 1 1 x 1 2 + 1 6 y 1 2 = 1

Equação de uma elipse.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : 1 11 x 1 2 + 1 6 y 1 2 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 5 x 2 + 12 x y + 0 y 2 - 12 13 x + 0 y = 36
Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 6 x 2 - 4 x y + 9 y 2 - 4 5 x - 18 5 y = 5
Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. x 2 + 2 3 x y - y 2 + 6 x + 0 y = 0
Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 4 x 2 - 20 x y + 25 y 2 - 15 x - 6 y = 0
Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 8 x 2 - 16 x y + 8 y 2 + 33 2 x - 31 2 y = - 70