Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 11
Considere o sistema de equações diferenciais , em que é uma matriz . Com quais valores de , , , os componentes , das soluções tendem a zero com ? Em particular, o que deve ser verdade sobre o determinante e o traço de para isso ocorrer?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Considere um sistema de equações diferenciáveis:
Considere que a matriz é dada por:
E a matriz é dada por:
A equação escrita em forma matricial será:
Assim, temos que a solução será:
Passo 2
A matriz deve ser diagonalizável por qualquer matriz cujas colunas sejam autovetores linearmente independentes de . Temos que:
Igualando o determinante a zero e resolvendo a equação, obtemos:
Sabemos que a solução da equação diferencial é dada por:
E:
Do enunciado, temos que se e tendem a zero, então , portanto os valores de devem ser negativos para que o termo tenda a zero.
O valore de só é negativo quando:
Desenvolvendo e fazendo as devidas manipulações, temos que:
Passo 3
Com este resultado, podemos investigar o comportamento do determinante de .
Temos que:
Da relação anterior, temos que:
Logo, podemos dizer que:
O determinante de é sempre maior que zero para que a condição de existência seja respeitada.
Passo 4
O traço de é dado por:
Ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal de . Existe também uma relação entre o autovalor e o traço da matriz de quando a matriz é e possui entradas reais ou complexas e quando e aparecem na diagonal principal. Ou seja:
O traço da matriz quadrada é dado por:
Portanto, o traço de é negativo porque os elementos diagonais são negativos, e é por isso que sua soma é negativa.
Resposta
O e o serão negativos.