Considere o sistema de equações diferenciais , em que é uma matriz . Com quais valores de , , , os componentes , das soluções tendem a zero com ? Em particular, o que deve ser verdade sobre o determinante e o traço de para isso ocorrer?

A matriz deve ser diagonalizável por qualquer matriz cujas colunas sejam autovetores linearmente independentes de . Temos que:

Igualando o determinante a zero e resolvendo a equação, obtemos:

Sabemos que a solução da equação diferencial é dada por:

E:

Do enunciado, temos que se e tendem a zero, então , portanto os valores de devem ser negativos para que o termo tenda a zero.

O valore de só é negativo quando:

Desenvolvendo e fazendo as devidas manipulações, temos que:

Com este resultado, podemos investigar o comportamento do determinante de .

Temos que:

Da relação anterior, temos que:

Logo, podemos dizer que:

O determinante de é sempre maior que zero para que a condição de existência seja respeitada.

O traço de é dado por:

Ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal de . Existe também uma relação entre o autovalor e o traço da matriz de quando a matriz é e possui entradas reais ou complexas e quando e aparecem na diagonal principal. Ou seja:

O traço da matriz quadrada é dado por:

Portanto, o traço de é negativo porque os elementos diagonais são negativos, e é por isso que sua soma é negativa.