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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 28

28. Mostre que cada entrada na diagonal principal de uma matriz anti-hermitiana é igual a zero ou é um número imaginário puro.

Passo 1

Vamos representar uma matriz quadrada com entradas complexas

A = a 11 + b 11 i a 12 + b 12 i a 2 1 + b 2 1 i a 2 2 + b 2 2 i ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 3 1 i a n 2 + b n 2 i ⋯ a n n + b n n i

E a matriz conjugada:

A ¯ = a 11 - b 11 i a 12 - b 12 i a 21 - b 21 i a 22 - b 22 i ⋯ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋯ a n n - b n n i

A matriz conjugada transposta:

A ¯ T = a 11 - b 11 i a 21 - b 21 i a 12 - b 12 i a 22 - b 22 i ⋯ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋯ a n n - b n n i

Passo 2

Pra matriz ser anti-hermitiana, a conjugada transposta dela tem que ser o negativo da matriz original.

Então vamos pegar o termos da diagonal princial:

a 11 - b 11 i = - a 11 + b 11 i

a 11 - b 11 i = - a 11 - b 11 i

2 a 11 = 0

a 11 = 0

Vamos fazer pra outro termo só pra confirmar:

a 22 - b 22 i = - a 22 + b 22 i

a 22 - b 22 i = - a 22 - b 22 i

2 a 22 = 0

a 22 = 0

Então a gente pode generalizar :

a n n - b n n i = - a n n + b n n i

a n n - b n n i = - a n n - b n n i

2 a n n = 0

a n n = 0

Como a parte real do número é zero e como a parte imaginária é sempre cortada ( os b ’s), então ou vai ser zero, ou vai ser imaginário puro.

Resposta

Demonstração

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